4- O elo rígido é sustentado por um pino em A e dois cabos de aço ( \mathrm{E}=210 \mathrm{GPa} ), cada um com comprimento de 300 mm quando não alongados e área de seção transversal de 7,8 \mathrm{~mm}^{2}. Determine a força desenvolvida nos cabos quando o elo suportar a carga vertical de 1,75 \mathrm{kN}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as forças nos dois cabos de aço quando o elo rígido suporta a carga vertical de \,1{,}75\\ \text{kN}.
Informações fornecidas (peguei alguns dados da imagem):
  • Módulo de Young: \,E=210\\ \text{GPa}.
  • Área da seção de cada cabo: \,A=7{,}8\\ \text{mm}^2.
  • Comprimento não alongado de cada cabo: \,L_0=300\\ \text{mm}.
  • Distância horizontal entre os pontos de fixação dos cabos e a parede (comprimento inicial do cabo): \,L_0=300\\ \text{mm} (da imagem).
  • Distância vertical entre os pontos B e C: \,125\\ \text{mm} (da imagem).
  • Distância vertical entre A e B: \,100\\ \text{mm} (da imagem).
  • Distância horizontal do ponto de aplicação da carga ao pivô A: \,150\\ \text{mm} (da imagem).
  • Magnitude da carga vertical para baixo: \,P=1{,}75\\ \text{kN} (do enunciado/imagem).
O que precisamos encontrar: as forças de tração nos cabos no ponto B ( F_B) e no ponto C ( F_C).

Passo 2

Ideia física e aproximação usada (explicação didática):
  • O elo é rígido e gira um pequeno ângulo \theta em torno do pino A quando a carga é aplicada. Por ser rígido, os deslocamentos horizontais dos pontos de fixação dos cabos ( B e C) são proporcionais às suas distâncias verticais a partir de A.
  • Cada cabo é como uma mola axial linear com rigidez \,k=\dfrac{AE}{L_0}. Isso vem da lei de Hooke para deformação axial pequena: \,F = k\,\delta, onde \delta é o alongamento.
  • Para pequena rotação \theta (em radianos), o deslocamento horizontal do ponto que está a uma distância vertical y de A é aproximadamente \delta = \theta\,y. Assim, a força no cabo que está em y vale \,F = k\,\theta\,y.
  • Usando equilíbrio de momentos em torno de A: momento devido à carga vertical \,P (braço horizontal \,150\\ \text{mm}) deve ser equilibrado pelos momentos produzidos pelas forças horizontais dos cabos (força vezes suas alavancas verticais).
Portanto usaremos:
k=\frac{AE}{L_0},\qquad F_i = k\,\theta\,y_i
e equilíbrio de momentos:
\sum M_A = 0 \quad\Rightarrow\quad F_B\,y_B + F_C\,y_C = P\cdot 150\\ \text{mm}.

Passo 3

Escrever as equações com as incógnitas e simplificar usando a proporcionalidade das forças.
Denotando as distâncias verticais a partir de A:
y_B = 100\\ \text{mm},\qquad y_C = 100 + 125 = 225\\ \text{mm}.
Pela compatibilidade (mesma rotação \theta):
F_B = k\,\theta\,y_B,\qquad F_C = k\,\theta\,y_C.
Substituindo na equação de momentos em \,A:
k\,\theta\,y_B\cdot y_B + k\,\theta\,y_C\cdot y_C = P\cdot 150\\ \text{mm}.
Fatorando k\,\theta:
k\,\theta\,(y_B^2 + y_C^2) = P\cdot 150\\ \text{mm}.
Definindo C \equiv k\,\theta (constante intermediária), obtemos
C = \frac{P\cdot 150}{y_B^2 + y_C^2}.
Então as tensões são
F_B = C\,y_B,\qquad F_C = C\,y_C.

Passo 4

Calcular a rigidez axial k do cabo (unidades N/mm para consistência com mm):
Converter E para \text{N}/\text{mm}^2:
E = 210\\ \text{GPa} = 210{,}000\\ \text{N}/\text{mm}^2.
Calcular AE:
AE = A\cdot E = 7{,}8\\ \text{mm}^2 \times 210{,}000\\ \text{N}/\text{mm}^2 = 1\,638\,000\\ \text{N}.
Rigidez:
k=\frac{AE}{L_0}=\frac{1\,638\,000\\ \text{N}}{300\\ \text{mm}}=5\,460\\ \text{N}/\text{mm}.

Passo 5

Calcular C e as forças F_B e F_C.
Primeiro as quantidades numéricas:
y_B = 100\\ \text{mm},\qquad y_C=225\\ \text{mm},
y_B^2 + y_C^2 = 100^2 + 225^2 = 10\,000 + 50\,625 = 60\,625\\ \text{mm}^2.
Momento pela carga:
P\cdot 150\\ \text{mm} = 1{,}75\\ \text{kN}\times 150\\ \text{mm} = 1\,750\\ \text{N}\times 150\\ \text{mm} = 262\,500\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
Agora
C=\frac{262\,500}{60\,625}\\ \text{N}/\text{mm}\approx 4{,}3298969\\ \text{N}/\text{mm}.
Forças:
F_B = C\,y_B \approx 4{,}3298969\times 100 = 432{,}98969\\ \text{N}\approx 433{,}0\\ \text{N},
F_C = C\,y_C \approx 4{,}3298969\times 225 = 974{,}2268\\ \text{N}\approx 974{,}2\\ \text{N}.

Passo 6

(Verificação e interpretação didática)
  • As forças estão na escala de centenas de newtons, o cabo superior (mais distante do pivô) suporta a maior força porque seu braço vertical é maior.
  • Podemos também obter a rotação \theta e os alongamentos para reforçar o entendimento:
\theta = \frac{C}{k} \approx \frac{4{,}3298969}{5\,460} \approx 0{,}000793\\ \text{rad},
\delta_B = \theta\,y_B \approx 0{,}000793\times 100 \approx 0{,}0793\\ \text{mm},
\delta_C = \theta\,y_C \approx 0{,}000793\times 225 \approx 0{,}1784\\ \text{mm}.
Esses valores são pequenos, o que valida a aproximação de pequena rotação linear usada.

Resposta

F_B \approx 433{,}0\\ \text{N}
F_C \approx 974{,}2\\ \text{N}

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