4- O elo rígido é sustentado por um pino em A e dois cabos de aço (
), cada um com comprimento de 300 mm quando não alongados e área de seção transversal de
. Determine a força desenvolvida nos cabos quando o elo suportar a carga vertical de
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as forças nos dois cabos de aço quando o elo rígido suporta a carga vertical de
.
Informações fornecidas (peguei alguns dados da imagem):
- Módulo de Young:
. - Área da seção de cada cabo:
. - Comprimento não alongado de cada cabo:
. - Distância horizontal entre os pontos de fixação dos cabos e a parede (comprimento inicial do cabo):
(da imagem). - Distância vertical entre os pontos
e : (da imagem). - Distância vertical entre
e : (da imagem). - Distância horizontal do ponto de aplicação da carga ao pivô
: (da imagem). - Magnitude da carga vertical para baixo:
(do enunciado/imagem).
O que precisamos encontrar: as forças de tração nos cabos no ponto
(
) e no ponto
(
).
Passo 2
Ideia física e aproximação usada (explicação didática):
- O elo é rígido e gira um pequeno ângulo
em torno do pino quando a carga é aplicada. Por ser rígido, os deslocamentos horizontais dos pontos de fixação dos cabos ( e ) são proporcionais às suas distâncias verticais a partir de . - Cada cabo é como uma mola axial linear com rigidez
. Isso vem da lei de Hooke para deformação axial pequena: , onde é o alongamento. - Para pequena rotação
(em radianos), o deslocamento horizontal do ponto que está a uma distância vertical de é aproximadamente . Assim, a força no cabo que está em vale . - Usando equilíbrio de momentos em torno de
: momento devido à carga vertical (braço horizontal ) deve ser equilibrado pelos momentos produzidos pelas forças horizontais dos cabos (força vezes suas alavancas verticais).
Portanto usaremos:
e equilíbrio de momentos:
Passo 3
Escrever as equações com as incógnitas e simplificar usando a proporcionalidade das forças.
Denotando as distâncias verticais a partir de
:
Pela compatibilidade (mesma rotação
):
Substituindo na equação de momentos em
:
Fatorando
:
Definindo
(constante intermediária), obtemos
Então as tensões são
Passo 4
Calcular a rigidez axial
do cabo (unidades N/mm para consistência com mm):
Converter
para
:
Calcular
:
Rigidez:
Passo 5
Calcular
e as forças
e
.
Primeiro as quantidades numéricas:
Momento pela carga:
Agora
Forças:
Passo 6
(Verificação e interpretação didática)
- As forças estão na escala de centenas de newtons, o cabo superior (mais distante do pivô) suporta a maior força porque seu braço vertical é maior.
- Podemos também obter a rotação
e os alongamentos para reforçar o entendimento:
Esses valores são pequenos, o que valida a aproximação de pequena rotação linear usada.