Determinar a primeira derivada das seguintes funções
g(x)=x^3 4^x-e^xraiz[3]x^2

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa encontrar a primeira derivada da função g(x) = x^34^x - e^xraiz[3]x^2 . Isso está no campo do cálculo diferencial, onde usamos regras de derivação para funções polinomiais, exponenciais e racionais. Vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar a derivação:
  1. x^34^x
  2. -e^xraiz[3]x^2
Vamos derivar cada parte individualmente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: x^34^x .
Aqui temos o produto de duas funções: u(x) = x^3 e v(x) = 4^x .
Para derivar um produto de funções, usamos a Regra do Produto, que diz que:
(uv)' = u'v + uv'
Primeiro, derivamos cada função separadamente:
  • Derivada de u(x) = x^3 :
u'(x) = 3x^2
  • Derivada de v(x) = 4^x :
v'(x) = 4^x ln 4
A derivada de uma função exponencial a^x é a^x ln a .
Agora, aplicando a Regra do Produto:
(uv)' = 3x^2 cdot 4^x + x^3 cdot 4^x ln 4

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: -e^xraiz[3]x^2 .
Podemos reescrever essa expressão para facilitar a derivação:
-e^xx^2/3 = -e^x x^-2/3
Aqui, temos novamente o produto de duas funções: u(x) = e^x e v(x) = x^-2/3 .
Vamos usar a Regra do Produto novamente:
(uv)' = u'v + uv'
Primeiro, derivamos cada função:
  • Derivada de u(x) = e^x :
u'(x) = e^x
  • Derivada de v(x) = x^-2/3 :
v'(x) = -23 x^-5/3
A derivada de x^n é n x^n-1 .
Agora, aplicando a Regra do Produto:
(uv)' = e^x cdot x^-2/3 + e^x cdot (-23 x^-5/3) = e^x x^-2/3 - 23 e^x x^-5/3

Resposta

Juntando as derivadas das duas partes, a primeira derivada da função g(x) é:
g'(x) = 3x^24^x + x^34^x ln 4 + e^x x^-2/3 - 23 e^x x^-5/3

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