Determinar a primeira derivada das seguintes funções
h(t)=(e^sen(t / 2))^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a primeira derivada da função h(t) = (e^sin(t / 2))^3 . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a derivação. A função dada é h(t) = (e^sin(t / 2))^3 . Podemos reescrever isso usando propriedades das potências:
h(t) = (e^sin(t / 2))^3 = e^3 sin(t / 2)
Isso nos ajuda a ver claramente a função composta que precisaremos derivar.

Passo 3

Agora, vamos determinar a primeira derivada h'(t) . Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função. A regra da cadeia diz que se temos h(t) = e^u(t) , então a derivada é:
h'(t) = e^u(t) cdot u'(t)
No nosso caso, u(t) = 3 sin(t / 2) .

Passo 4

Vamos encontrar a derivada de u(t) = 3 sin(t / 2) . Aplicando a regra da cadeia novamente para derivar sin(t / 2) :
u'(t) = 3 cdot cos(t / 2) cdot 12 = 32 cos(t / 2)
Aqui, derivamos sin(t / 2) resultando em cos(t / 2) multiplicado pela derivada interna 12 .

Passo 5

Finalmente, substituímos u(t) e u'(t) na expressão da derivada usando a regra da cadeia:
h'(t) = e^3 sin(t / 2) cdot 32 cos(t / 2)
Podemos reescrever isso de forma mais organizada:
h'(t) = 32 cos(t2) cdot e^3 sin(t2)

Resposta

A primeira derivada da função é
h'(t) = 32 cos(t2) cdot e^3 sin(t2)

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