4.4 Determinar a probabilidade de cada evento:
Pelo menos uma cara aparecer no lançamento de n moedas.

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar a probabilidade de cada evento: Pelo menos uma cara aparecer no lançamento de n moedas.”
Informações relevantes dadas (e suposições padrão que vou usar):
  • Lançam-se n moedas independentes.
  • Cada moeda tem dois resultados possíveis: cara (C) ou coroa (K).
  • Vou assumir moedas justas (cada face com probabilidade \tfrac{1}{2}) e independência entre lançamentos.
  • A pergunta é sobre o evento “pelo menos uma cara”, isto é, ocorrer 1 ou 2 ou \dots ou n caras.

Passo 2

Vamos pensar no espaço amostral e nas probabilidades básicas para entender o problema.
Cada moeda tem 2 resultados. Para n moedas independentes, o número total de resultados possíveis (sequências de C/K) é
2^n.
Se as moedas são justas e independentes, cada uma dessas 2^n sequências tem a mesma probabilidade, igual a
\left(\tfrac{1}{2}\right)^n.
Isto é, qualquer sequência específica (por exemplo: C,K,C,C,\dots) ocorre com probabilidade \left(\tfrac{1}{2}\right)^n.

Passo 3

Um caminho muito prático é usar o conceito de evento complementar. O evento “pelo menos uma cara” é o complemento do evento “nenhuma cara”. Vamos definir esses eventos:
  • A: “pelo menos uma cara aparece”.
  • A^c: “nenhuma cara aparece” (ou seja, todas as moedas dão coroa).
A probabilidade do complemento está relacionada por
P(A)=1-P(A^c).
Então, se conseguirmos P(A^c), obtemos P(A).

Passo 4

Calcular P(A^c): “nenhuma cara” significa todas as n moedas mostram coroa. Há exatamente uma sequência que é “todas coroas”. Como cada sequência tem probabilidade \left(\tfrac{1}{2}\right)^n, temos
P(A^c)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^n.
Alternativamente, pelo ponto de vista binomial, a probabilidade de obter exatamente k caras em n lançamentos é
\frac{\binom{n}{k}}{2^n}.
Para k=0 (nenhuma cara) isso dá
\frac{\binom{n}{0}}{2^n}=\frac{1}{2^n}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^n,
o que coincide com o resultado anterior.

Passo 5

Agora aplicamos a relação de complementaridade para obter a probabilidade pedida:
P(\text{pelo menos uma cara})=1-P(\text{nenhuma cara})=1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^n.
Também podemos verificar somando as probabilidades de 1 a n caras:
\sum_{k=1}^{n}\frac{\binom{n}{k}}{2^n} =1-\frac{\binom{n}{0}}{2^n} =1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^n,
o que confirma a fórmula.

Passo 6

Exemplos simples para fixar:
  • Se n=1: P=1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^1=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
  • Se n=2: P=1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.
  • Se n=3: P=1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=1-\tfrac{1}{8}=\tfrac{7}{8}.
Observação sobre caso extremo: se n=0 (nenhuma moeda lançada), por definição há zero caras, então P(\text{pelo menos uma cara})=0, e a fórmula também dá 1-(\tfrac{1}{2})^{0}=1-1=0, consistente.

Resposta

1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^n

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