4.4 Determinar a probabilidade de cada evento:
Pelo menos uma cara aparecer no lançamento de
moedas.
Pelo menos uma cara aparecer no lançamento de
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar a probabilidade de cada evento: Pelo menos uma cara aparecer no lançamento de
moedas.”
Informações relevantes dadas (e suposições padrão que vou usar):
- Lançam-se
moedas independentes. - Cada moeda tem dois resultados possíveis: cara (C) ou coroa (K).
- Vou assumir moedas justas (cada face com probabilidade
) e independência entre lançamentos. - A pergunta é sobre o evento “pelo menos uma cara”, isto é, ocorrer
ou ou ou caras.
Passo 2
Vamos pensar no espaço amostral e nas probabilidades básicas para entender o problema.
Cada moeda tem
resultados. Para
moedas independentes, o número total de resultados possíveis (sequências de C/K) é
Se as moedas são justas e independentes, cada uma dessas
sequências tem a mesma probabilidade, igual a
Isto é, qualquer sequência específica (por exemplo: C,K,C,C,\dots) ocorre com probabilidade
.
Passo 3
Um caminho muito prático é usar o conceito de evento complementar. O evento “pelo menos uma cara” é o complemento do evento “nenhuma cara”. Vamos definir esses eventos:
-
: “pelo menos uma cara aparece”. -
: “nenhuma cara aparece” (ou seja, todas as moedas dão coroa).
A probabilidade do complemento está relacionada por
Então, se conseguirmos
, obtemos
.
Passo 4
Calcular
: “nenhuma cara” significa todas as
moedas mostram coroa. Há exatamente uma sequência que é “todas coroas”. Como cada sequência tem probabilidade
, temos
Alternativamente, pelo ponto de vista binomial, a probabilidade de obter exatamente
caras em
lançamentos é
Para
(nenhuma cara) isso dá
o que coincide com o resultado anterior.
Passo 5
Agora aplicamos a relação de complementaridade para obter a probabilidade pedida:
Também podemos verificar somando as probabilidades de
a
caras:
o que confirma a fórmula.
Passo 6
Exemplos simples para fixar:
- Se
: . - Se
: . - Se
: .
Observação sobre caso extremo: se
(nenhuma moeda lançada), por definição há zero caras, então
, e a fórmula também dá
, consistente.