Determinar a probabilidade de que um monitor desse lote, selecionado aleatoriamente, acuse um tempo de durabilidade
(a) Inferior a 7 anos
(b) Entre 7,6 e 9,1 anos
(c) Inferior a 10 anos

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine as probabilidades abaixo para o tempo de durabilidade de um monitor, escolhido aleatoriamente:
\text{(a) } P(X<7),\qquad \text{(b) } P(7{,}6 < X < 9{,}1),\qquad \text{\text{(c)} } P(X<10).
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma adicional — não foi dado modelo da distribuição (por exemplo, normal) nem parâmetros (média \mu e desvio-padrão \sigma).
Observação importante: sem especificar a distribuição ou os parâmetros \mu e \sigma, não é possível calcular valores numéricos das probabilidades pedidas.

Passo 2

Vou adotar o procedimento usual que seu professor provavelmente espera para esse tipo de questão: assumir que o tempo de durabilidade X segue uma distribuição normal (isso é comum para tempos de vida) com média \mu e desvio-padrão \sigma. Se, no seu exercício original, a distribuição for outra (por exemplo exponencial) ou se os valores de \mu e \sigma estiverem no enunciado / figura, então a técnica muda — mas eu explico abaixo o procedimento completo para o caso normal, e isso serve como receita passo a passo para a prova. Se os parâmetros não forem conhecidos, você deve buscar esses valores no enunciado ou na figura.

Passo 3

Breve aula: a distribuição normal e a padronização.
  • Escrevemos a variável de interesse como
X \sim N(\mu,\sigma^2),
onde \mu é a média (valor central esperado) e \sigma>0 é o desvio-padrão (medida de dispersão).
  • A função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão é denotada por \Phi(z)=P(Z\le z) para Z\sim N(0,1).
  • Para transformar qualquer normal em normal padrão usamos a padronização:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1).
Isso significa que, para qualquer número a,
P(X<a)=P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{a-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right).
Essa transformação é só álgebra: subtrai a média e divide pelo desvio para medir quantos desvios-padrão o valor a está distante da média.

Passo 4

Aplicando a padronização às três probabilidades pedidas (expressões em termos de \mu,\sigma e da função \Phi):
(a) Probabilidade de durabilidade inferior a 7:
P(X<7)=\Phi\!\left(\frac{7-\mu}{\sigma}\right).
(b) Probabilidade de durabilidade entre 7{,}6 e 9{,}1:
P(7{,}6<X<9{,}1)=\Phi\!\left(\frac{9{,}1-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\!\left(\frac{7{,}6-\mu}{\sigma}\right).
(c) Probabilidade de durabilidade inferior a 10:
P(X<10)=\Phi\!\left(\frac{10-\mu}{\sigma}\right).
Essas fórmulas são as respostas em forma simbólica: cada probabilidade vira uma avaliação da CDF padrão \Phi nos respectivos valores de z.

Passo 5

Como calcular numericamente (passo a passo, para aplicar na prova):
  1. Substitua \mu e \sigma pelos valores fornecidos no enunciado (por ex., \mu=8{,}5, \sigma=1{,}2 — isso é só um exemplo; não use isso como resposta a menos que o enunciado dê esses números).
  2. Calcule o(s) escore(s) z usando \;z=(x-\mu)/\sigma\; para cada limite x que aparece nas perguntas (a, 7{,}6, 9{,}1, 10).
  3. Use uma tabela da normal padrão ou uma calculadora científica/computacional para obter \Phi(z):
    • Se z for positivo, leia diretamente \Phi(z).
    • Se z for negativo, use a propriedade \Phi(-z)=1-\Phi(z).
  4. Para intervalos, subtraia as CDFs, como em (b).
  5. Apresente o resultado com arredondamento apropriado (duas ou três casas decimais, dependendo do costume da prova).
Exemplo ilustrativo (APENAS para mostrar o processo, não é a resposta ao seu exercício): suponha \mu=8{,}5 e \sigma=1{,}2.
  • Para (a): z=\dfrac{7-8{,}5}{1{,}2}=-1{,}25. Então P(X<7)=\Phi(-1{,}25)=1-\Phi(1{,}25). Pela tabela \Phi(1{,}25)\approx0{,}8944, logo P(X<7)\approx0{,}1056.
  • Para (b): calcule z_1=\dfrac{7{,}6-8{,}5}{1{,}2}=-0{,}75 e z_2=\dfrac{9{,}1-8{,}5}{1{,}2}=0{,}50. Então P(7{,}6<X<9{,}1)=\Phi(0{,}50)-\Phi(-0{,}75). Use a tabela para obter esses valores e subtrair.
  • Para (c): calcule z=\dfrac{10-8{,}5}{1{,}2}=1{,}25 e então P(X<10)=\Phi(1{,}25)\approx0{,}8944.
    Novamente: isso foi só uma demonstração do método com números inventados.

Passo 6

Dicas práticas para a prova (pequenas manhas que salvam tempo):
  • Sempre calcule os z-scores e mantenha sinal (positivo/negativo) correto; use \Phi(-z)=1-\Phi(z).
  • Se a tabela da normal dá apenas até duas casas decimais de z (por ex. 1{,}25), use as duas primeiras casas como índice de linha e a terceira casa como coluna, como é padrão nas tabelas.
  • Em calculadora: muitas têm função de CDF normal direta (ex.: normalcdf ou norm.cdf). Se não, use a função erro complementar ou o inverso quando necessário.
  • Se o enunciado der apenas média e variância \sigma^2, lembre que \sigma=\sqrt{\sigma^2}.
  • Se o enunciado disser explicitamente outra distribuição (ex.: exponencial), não use esse procedimento — use a fórmula correspondente àquela distribuição.

Passo 7

Conclusão: para resolver numericamente as três probabilidades do enunciado você precisa saber qual é a distribuição de X (ou, na prática mais comum, assumir X\sim N(\mu,\sigma^2)) e conhecer os valores numéricos de \mu e \sigma. Com esses dados, aplicada a padronização e consultada a tabela \Phi, você obtém as respostas numéricas em poucos passos, exatamente como ilustrei no exemplo.

Resposta

Não é possível calcular valores numéricos porque o enunciado não fornece a distribuição ou os parâmetros \mu e \sigma.
Se X\sim N(\mu,\sigma^2), então as respostas em forma simbólica são:
\text{(a) } P(X<7)=\Phi\!\left(\frac{7-\mu}{\sigma}\right)
\text{(b) } P(7{,}6<X<9{,}1)=\Phi\!\left(\frac{9{,}1-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\!\left(\frac{7{,}6-\mu}{\sigma}\right)
\text{\text{(c)} } P(X<10)=\Phi\!\left(\frac{10-\mu}{\sigma}\right)

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