Determinar a probabilidade de que um monitor desse lote, selecionado aleatoriamente, acuse um tempo de durabilidade
(a) Inferior a 7 anos
(b) Entre 7,6 e 9,1 anos
(c) Inferior a 10 anos
(a) Inferior a 7 anos
(b) Entre 7,6 e 9,1 anos
(c) Inferior a 10 anos
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine as probabilidades abaixo para o tempo de durabilidade de um monitor, escolhido aleatoriamente:
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma adicional — não foi dado modelo da distribuição (por exemplo, normal) nem parâmetros (média
e desvio-padrão
).
Observação importante: sem especificar a distribuição ou os parâmetros e
, não é possível calcular valores numéricos das probabilidades pedidas.
Observação importante: sem especificar a distribuição ou os parâmetros
Passo 2
Vou adotar o procedimento usual que seu professor provavelmente espera para esse tipo de questão: assumir que o tempo de durabilidade
segue uma distribuição normal (isso é comum para tempos de vida) com média
e desvio-padrão
. Se, no seu exercício original, a distribuição for outra (por exemplo exponencial) ou se os valores de
e
estiverem no enunciado / figura, então a técnica muda — mas eu explico abaixo o procedimento completo para o caso normal, e isso serve como receita passo a passo para a prova. Se os parâmetros não forem conhecidos, você deve buscar esses valores no enunciado ou na figura.
Passo 3
Breve aula: a distribuição normal e a padronização.
- Escrevemos a variável de interesse como
onde
é a média (valor central esperado) e
é o desvio-padrão (medida de dispersão).
- A função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão é denotada por
para . - Para transformar qualquer normal em normal padrão usamos a padronização:
Isso significa que, para qualquer número
,
Essa transformação é só álgebra: subtrai a média e divide pelo desvio para medir quantos desvios-padrão o valor
está distante da média.
Passo 4
Aplicando a padronização às três probabilidades pedidas (expressões em termos de
e da função
):
(a) Probabilidade de durabilidade inferior a
:
(b) Probabilidade de durabilidade entre
e
:
(c) Probabilidade de durabilidade inferior a
:
Essas fórmulas são as respostas em forma simbólica: cada probabilidade vira uma avaliação da CDF padrão
nos respectivos valores de
.
Passo 5
Como calcular numericamente (passo a passo, para aplicar na prova):
- Substitua
e pelos valores fornecidos no enunciado (por ex., , — isso é só um exemplo; não use isso como resposta a menos que o enunciado dê esses números). - Calcule o(s) escore(s)
usando para cada limite que aparece nas perguntas (a, 7{,}6, 9{,}1, 10). - Use uma tabela da normal padrão ou uma calculadora científica/computacional para obter
: - Se
for positivo, leia diretamente . - Se
for negativo, use a propriedade .
- Se
- Para intervalos, subtraia as CDFs, como em (b).
- Apresente o resultado com arredondamento apropriado (duas ou três casas decimais, dependendo do costume da prova).
Exemplo ilustrativo (APENAS para mostrar o processo, não é a resposta ao seu exercício): suponha
e
.
- Para (a):
. Então . Pela tabela , logo . - Para (b): calcule
e . Então . Use a tabela para obter esses valores e subtrair. - Para (c): calcule
e então .
Novamente: isso foi só uma demonstração do método com números inventados.
Passo 6
Dicas práticas para a prova (pequenas manhas que salvam tempo):
- Sempre calcule os
-scores e mantenha sinal (positivo/negativo) correto; use . - Se a tabela da normal dá apenas até duas casas decimais de
(por ex. ), use as duas primeiras casas como índice de linha e a terceira casa como coluna, como é padrão nas tabelas. - Em calculadora: muitas têm função de CDF normal direta (ex.: normalcdf ou norm.cdf). Se não, use a função erro complementar ou o inverso quando necessário.
- Se o enunciado der apenas média e variância
, lembre que . - Se o enunciado disser explicitamente outra distribuição (ex.: exponencial), não use esse procedimento — use a fórmula correspondente àquela distribuição.
Passo 7
Conclusão: para resolver numericamente as três probabilidades do enunciado você precisa saber qual é a distribuição de
(ou, na prática mais comum, assumir
) e conhecer os valores numéricos de
e
. Com esses dados, aplicada a padronização e consultada a tabela
, você obtém as respostas numéricas em poucos passos, exatamente como ilustrei no exemplo.
Resposta
Não é possível calcular valores numéricos porque o enunciado não fornece a distribuição ou os parâmetros
e
.
Se , então as respostas em forma simbólica são:
Se