• Numa amostra de 16 postos de gasolina no Rio de Janeiro, o preço médio do litro da gasolina aditivada foi de \mathbf{R} \boldsymbol{\} \mathbf{1 . 7 8}$.
  • O desvio padrão dos preços estimado na amostra é R$ 0.20. Encontre intervalos de confiança 90%, 95% e 99% para o preço médio da gasolina aditivada no Rio de Janeiro e compare-os com os encontrados no exemplo da página 18.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados da amostra:
    • tamanho da amostra n=16,
    • média amostral \bar{x}=\text{R\$ }1,78 (vou escrever os números como \bar{x}=1,78 dentro de fórmulas),
    • desvio padrão amostral s=\text{R\$ }0,20 (vou usar \,s=0,20).
  • O que se pede:
    • calcular intervalos de confiança para a média verdadeira do preço da gasolina aditivada no Rio de Janeiro com níveis de confiança de 90\%, 95\% e 99\%;
    • comparar esses intervalos com os encontrados no exemplo da página 18.
Observação importante: o enunciado pede também uma comparação com um exemplo da página 18, mas eu não tenho esse exemplo aqui. Mais abaixo eu explico por que não posso fazer a comparação e o que você pode me enviar para eu comparar corretamente.

Passo 2

Que método vamos usar e por quê (aula curta e objetiva)
  • Quando queremos um intervalo de confiança para a média e a variância populacional não é conhecida (ou seja, não sabemos \sigma) usamos a distribuição t de Student, especialmente quando a amostra é pequena. Aqui temos n=16 (pequena) e só temos s, portanto usamos a distribuição t.
  • A fórmula do intervalo de confiança para a média, quando usamos t, é:
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\;df}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=1,78),
  • t_{\alpha/2,\;df} é o quantil da distribuição t com df graus de liberdade correspondente à cauda \alpha/2,
  • df são os graus de liberdade, df=n-1,
  • s é o desvio padrão amostral,
  • \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (a incerteza da média amostral).
  • Interpretação rápida: por exemplo, um intervalo de 95\% significa que, se repetíssemos amostras do mesmo tamanho muitas vezes e construíssemos o IC do mesmo modo, em torno de 95\% desses intervalos estaria a verdadeira média populacional.

Passo 3

Calcular o erro padrão (passo aritmético simples, bem mastigado)
  • Fórmula do erro padrão:
SE=\frac{s}{\sqrt{n}}
  • Substituindo s=0,20 e n=16:
SE=\frac{0,20}{\sqrt{16}}=\frac{0,20}{4}=0,05.
Ou seja, o desvio padrão da média amostral (a incerteza básica antes de multiplicar pelo t) é 0,05 (R$ 0,05).

Passo 4

Graus de liberdade e valores críticos t
  • Os graus de liberdade são df=n-1=16-1=15.
  • Para cada nível de confiança 1-\alpha precisamos do t_{\alpha/2,15}. Usamos uma tabela t ou software. Os valores (aproximados) são:
    • para 90\% ( \alpha=0,10, \alpha/2=0,05): t_{0,05,15}\approx 1,753,
    • para 95\% ( \alpha=0,05, \alpha/2=0,025): t_{0,025,15}\approx 2,131,
    • para 99\% ( \alpha=0,01, \alpha/2=0,005): t_{0,005,15}\approx 2,947.
Obs.: esses números vêm de uma tabela da distribuição t para df=15. Se você usar uma calculadora estatística ou software, obterá os mesmos valores com pequena diferença de arredondamento.

Passo 5

Cálculo do intervalo de confiança a 90\%
  • Margem de erro: \displaystyle m_{90}=t_{0,05,15}\cdot SE=1,753\cdot 0,05.
m_{90}=1,753\times 0,05=0,08765.
  • Intervalo:
\bar{x}\pm m_{90}=1,78\pm 0,08765.
  • Limites numéricos:
    • limite inferior =1,78-0,08765=1,69235,
    • limite superior =1,78+0,08765=1,86765.
  • Arredondando para centavos (duas casas decimais, prático para preço): intervalo aproximado
\text{R\$ }(1,69,\;1,87).

Passo 6

Cálculo do intervalo de confiança a 95\%
  • Margem de erro: \displaystyle m_{95}=t_{0,025,15}\cdot SE=2,131\cdot 0,05.
m_{95}=2,131\times 0,05=0,10655.
  • Intervalo:
\bar{x}\pm m_{95}=1,78\pm 0,10655.
  • Limites numéricos:
    • limite inferior =1,78-0,10655=1,67345,
    • limite superior =1,78+0,10655=1,88655.
  • Arredondando para centavos:
\text{R\$ }(1,67,\;1,89).

Passo 7

Cálculo do intervalo de confiança a 99\%
  • Margem de erro: \displaystyle m_{99}=t_{0,005,15}\cdot SE=2,947\cdot 0,05.
m_{99}=2,947\times 0,05=0,14735.
  • Intervalo:
\bar{x}\pm m_{99}=1,78\pm 0,14735.
  • Limites numéricos:
    • limite inferior =1,78-0,14735=1,63265,
    • limite superior =1,78+0,14735=1,92735.
  • Arredondando para centavos:
\text{R\$ }(1,63,\;1,93).

Passo 8

Interpretação prática e dica para a prova (tom motivador)
  • Interpretação: por exemplo, o intervalo de 95\% diz que temos confiança de 95\% de que a verdadeira média do preço da gasolina aditivada no Rio de Janeiro está entre \text{R\$}1,67 e \text{R\$ }1,89.
  • Observação intuitiva: conforme aumentamos o nível de confiança (90% → 95% → 99%), o intervalo fica mais largo — porque para ter mais confiança precisamos admitir uma faixa maior de possíveis valores.
  • Dica para a prova: faça primeiro o cálculo do erro padrão (é rápido), depois pegue o t adequado (decore alguns valores para df comuns ou saiba ler a tabela rápido) e multiplique. Quando arredondar para preços, use duas casas decimais.

Passo 9

Comparação com o exemplo da página 18 (por que não posso concluir)
  • Eu não tenho o conteúdo do “exemplo da página 18” que você citou. Sem ver esse exemplo não posso afirmar se os intervalos coincidem, são maiores ou menores.
  • O que normalmente muda entre exemplos:
    • se o exemplo da página 18 usou a mesma amostra (mesmos \bar{x}, s, n) então os intervalos deveriam ser os mesmos;
    • se o exemplo usou desvio padrão populacional conhecido \sigma e aplicou o z em vez do t (situação diferente), os intervalos teriam margens diferentes (normalmente menores com z se usassem o mesmo valor numérico de desvio);
    • se o exemplo usou outro n ou outro s, os intervalos obviamente mudam.
  • Se você me enviar o texto ou os números do exemplo da página 18 eu faço a comparação direta e explico qualquer diferença passo a passo.

Resposta

\text{IC }90\%:\; \text{R\$ }(1,69,\;1,87)
\text{IC }95\%:\; \text{R\$ }(1,67,\;1,89)
\text{IC }99\%:\; \text{R\$ }(1,63,\;1,93)
Não é possível comparar com o exemplo da página 18 porque esse exemplo não foi fornecido; envie-o que eu comparo detalhadamente.

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