- Numa amostra de 16 postos de gasolina no Rio de Janeiro, o preço médio do litro da gasolina aditivada foi de
} \mathbf{1 . 7 8}$.
- O desvio padrão dos preços estimado na amostra é R$ 0.20. Encontre intervalos de confiança 90%, 95% e 99% para o preço médio da gasolina aditivada no Rio de Janeiro e compare-os com os encontrados no exemplo da página 18.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dados da amostra:
- tamanho da amostra
, - média amostral
(vou escrever os números como dentro de fórmulas), - desvio padrão amostral
(vou usar ).
- tamanho da amostra
- O que se pede:
- calcular intervalos de confiança para a média verdadeira do preço da gasolina aditivada no Rio de Janeiro com níveis de confiança de
, e ; - comparar esses intervalos com os encontrados no exemplo da página 18.
- calcular intervalos de confiança para a média verdadeira do preço da gasolina aditivada no Rio de Janeiro com níveis de confiança de
Observação importante: o enunciado pede também uma comparação com um exemplo da página 18, mas eu não tenho esse exemplo aqui. Mais abaixo eu explico por que não posso fazer a comparação e o que você pode me enviar para eu comparar corretamente.
Passo 2
Que método vamos usar e por quê (aula curta e objetiva)
- Quando queremos um intervalo de confiança para a média e a variância populacional não é conhecida (ou seja, não sabemos
) usamos a distribuição de Student, especialmente quando a amostra é pequena. Aqui temos (pequena) e só temos , portanto usamos a distribuição . - A fórmula do intervalo de confiança para a média, quando usamos
, é:
onde:
-
é a média amostral (aqui ), -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade correspondente à cauda , -
são os graus de liberdade, , -
é o desvio padrão amostral, -
é o erro padrão da média (a incerteza da média amostral). - Interpretação rápida: por exemplo, um intervalo de
significa que, se repetíssemos amostras do mesmo tamanho muitas vezes e construíssemos o IC do mesmo modo, em torno de desses intervalos estaria a verdadeira média populacional.
Passo 3
Calcular o erro padrão (passo aritmético simples, bem mastigado)
- Fórmula do erro padrão:
- Substituindo
e :
Ou seja, o desvio padrão da média amostral (a incerteza básica antes de multiplicar pelo
) é
(R$ 0,05).
Passo 4
Graus de liberdade e valores críticos
- Os graus de liberdade são
. - Para cada nível de confiança
precisamos do . Usamos uma tabela ou software. Os valores (aproximados) são: - para
( , ): , - para
( , ): , - para
( , ): .
- para
Obs.: esses números vêm de uma tabela da distribuição
para
. Se você usar uma calculadora estatística ou software, obterá os mesmos valores com pequena diferença de arredondamento.
Passo 5
Cálculo do intervalo de confiança a
- Margem de erro:
.
- Intervalo:
- Limites numéricos:
- limite inferior
, - limite superior
.
- limite inferior
- Arredondando para centavos (duas casas decimais, prático para preço): intervalo aproximado
Passo 6
Cálculo do intervalo de confiança a
- Margem de erro:
.
- Intervalo:
- Limites numéricos:
- limite inferior
, - limite superior
.
- limite inferior
- Arredondando para centavos:
Passo 7
Cálculo do intervalo de confiança a
- Margem de erro:
.
- Intervalo:
- Limites numéricos:
- limite inferior
, - limite superior
.
- limite inferior
- Arredondando para centavos:
Passo 8
Interpretação prática e dica para a prova (tom motivador)
- Interpretação: por exemplo, o intervalo de
diz que temos confiança de de que a verdadeira média do preço da gasolina aditivada no Rio de Janeiro está entre e . - Observação intuitiva: conforme aumentamos o nível de confiança (90% → 95% → 99%), o intervalo fica mais largo — porque para ter mais confiança precisamos admitir uma faixa maior de possíveis valores.
- Dica para a prova: faça primeiro o cálculo do erro padrão (é rápido), depois pegue o
adequado (decore alguns valores para comuns ou saiba ler a tabela rápido) e multiplique. Quando arredondar para preços, use duas casas decimais.
Passo 9
Comparação com o exemplo da página 18 (por que não posso concluir)
- Eu não tenho o conteúdo do “exemplo da página 18” que você citou. Sem ver esse exemplo não posso afirmar se os intervalos coincidem, são maiores ou menores.
- O que normalmente muda entre exemplos:
- se o exemplo da página 18 usou a mesma amostra (mesmos
, , ) então os intervalos deveriam ser os mesmos; - se o exemplo usou desvio padrão populacional conhecido
e aplicou o em vez do (situação diferente), os intervalos teriam margens diferentes (normalmente menores com se usassem o mesmo valor numérico de desvio); - se o exemplo usou outro
ou outro , os intervalos obviamente mudam.
- se o exemplo da página 18 usou a mesma amostra (mesmos
- Se você me enviar o texto ou os números do exemplo da página 18 eu faço a comparação direta e explico qualquer diferença passo a passo.
Resposta
Não é possível comparar com o exemplo da página 18 porque esse exemplo não foi fornecido; envie-o que eu comparo detalhadamente.