• Uma pesquisa do governo afirma que \mathbf{1 0} \boldsymbol{\%} dos homens com idade inferior a 25 anos estão desempregados.
  • Encontre a probabilidade de que, ao tomarmos uma amostra de 400 homens com menos de 25 anos, a proporção estimada de desempregados seja superior a \mathbf{1 2} \boldsymbol{\%}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • Proporção verdadeira (segundo a pesquisa): \,p=0,10 (ou seja, 10\%).
  • Tamanho da amostra: \,n=400.
  • Queremos a probabilidade de que a proporção amostral \widehat{p} seja maior que 12\%, isto é, queremos calcular
P\big(\widehat{p}>0,12\big).

Passo 2

Entendendo o que é \widehat{p} e qual é sua distribuição (aula miniatura, sem drama):
  • \widehat{p} é a proporção de desempregados observada na amostra de n indivíduos. É uma média de variáveis indicadoras (cada indivíduo vale 1 se desempregado e 0 caso contrário).
  • Quando temos muitas observações independentes e n é grande, a distribuição de \widehat{p} fica aproximadamente normal (Teorema do Limite Central para proporções).
  • Condições para usar essa aproximação normal de forma segura: verificar que np e n(1-p) são razoavelmente grandes (regra prática: maiores que 5). Vamos checar:
np = 400\cdot 0,10 = 40,\qquad n(1-p)=400\cdot 0,90 = 360.
Como ambos são muito maiores que 5, a aproximação normal é apropriada.

Passo 3

Parâmetros da distribuição aproximada de \widehat{p}:
  • Esperança (média) da proporção amostral: \,E(\widehat{p})=p. Aqui E(\widehat{p})=0,10.
  • Variância de \widehat{p}: \displaystyle \operatorname{Var}(\widehat{p})=\frac{p(1-p)}{n}.
  • Desvio padrão (erro padrão, “standard error”) de \widehat{p}:
\mathrm{SE}(\widehat{p})=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.
Agora calculamos numericamente:
\frac{p(1-p)}{n}=\frac{0,10\cdot 0,90}{400}=\frac{0,09}{400}=0,000225,
logo
\mathrm{SE}(\widehat{p})=\sqrt{0,000225}=0,015.

Passo 4

Transformar o evento em uma probabilidade da normal padrão:
Queremos
P\big(\widehat{p}>0,12\big).
Subtraímos a média e dividimos pelo desvio padrão para obter a variável Z da normal padrão:
Z=\frac{\widehat{p}-p}{\mathrm{SE}(\widehat{p})}.
Assim,
P\big(\widehat{p}>0,12\big)=P\!\left(Z>\frac{0,12-0,10}{0,015}\right).
Calculando a razão:
\frac{0,12-0,10}{0,015}=\frac{0,02}{0,015}=\frac{20}{15}=\frac{4}{3}\approx 1,333\ldots
Portanto
P\big(\widehat{p}>0,12\big)=P\big(Z>1,333\ldots\big).

Passo 5

Encontrar a probabilidade na tabela da normal padrão (ou calculadora):
  • Se \Phi(z) é a função de distribuição acumulada da normal padrão, então
P\big(Z>1,333\ldots\big)=1-\Phi(1,333\ldots).
  • Usando tabela de Z (ou calculadora), \Phi(1,33)\approx 0,9082 e \Phi(1,34)\approx 0,9099. Para z\approx 1,333 fazemos uma interpolação simples e obtemos aproximadamente \Phi(1,333\ldots)\approx 0,9082 (diferença muito pequena).
  • Assim
P\big(\widehat{p}>0,12\big)\approx 1-0,9082=0,0918.

Passo 6

Interpretação amigável e ânimo: a chance de que, numa amostra de 400 homens com menos de 25 anos, a proporção observada de desempregados exceda 12\% é de cerca de 0,0918, ou seja, aproximadamente 9,18\%. Está fora do comum, mas não impossível — se fosse a primeira vez que você vê isso em prova, manda bala, é exatamente esse procedimento que pedem: verificar condições, calcular SE, transformar em Z e usar a tabela.

Resposta

0,0918

Exercícios relacionados