- Uma pesquisa do governo afirma que
dos homens com idade inferior a 25 anos estão desempregados.
- Encontre a probabilidade de que, ao tomarmos uma amostra de 400 homens com menos de 25 anos, a proporção estimada de desempregados seja superior a
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- Proporção verdadeira (segundo a pesquisa):
(ou seja, ). - Tamanho da amostra:
. - Queremos a probabilidade de que a proporção amostral
seja maior que , isto é, queremos calcular
Passo 2
Entendendo o que é
e qual é sua distribuição (aula miniatura, sem drama):
-
é a proporção de desempregados observada na amostra de indivíduos. É uma média de variáveis indicadoras (cada indivíduo vale se desempregado e caso contrário). - Quando temos muitas observações independentes e
é grande, a distribuição de fica aproximadamente normal (Teorema do Limite Central para proporções). - Condições para usar essa aproximação normal de forma segura: verificar que
e são razoavelmente grandes (regra prática: maiores que ). Vamos checar:
Como ambos são muito maiores que
, a aproximação normal é apropriada.
Passo 3
Parâmetros da distribuição aproximada de
:
- Esperança (média) da proporção amostral:
. Aqui . - Variância de
: - Desvio padrão (erro padrão, “standard error”) de
:
Agora calculamos numericamente:
logo
Passo 4
Transformar o evento em uma probabilidade da normal padrão:
Queremos
Subtraímos a média e dividimos pelo desvio padrão para obter a variável
da normal padrão:
Assim,
Calculando a razão:
Portanto
Passo 5
Encontrar a probabilidade na tabela da normal padrão (ou calculadora):
- Se
é a função de distribuição acumulada da normal padrão, então
- Usando tabela de
(ou calculadora), e . Para fazemos uma interpolação simples e obtemos aproximadamente (diferença muito pequena). - Assim
Passo 6
Interpretação amigável e ânimo: a chance de que, numa amostra de
homens com menos de
anos, a proporção observada de desempregados exceda
é de cerca de
, ou seja, aproximadamente
. Está fora do comum, mas não impossível — se fosse a primeira vez que você vê isso em prova, manda bala, é exatamente esse procedimento que pedem: verificar condições, calcular SE, transformar em
e usar a tabela.