A partir do balanço de energia em um elemento diferencial de volume retangular, a equação da condução de calor unidimensional transiente, com condutividade térmica constante e sem geração interna, é:
A) \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}=\frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}
B) \quad \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}+\frac{\dot{q}}{k}=\frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}
C) \quad \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}=0
D)
\frac{\partial T}{\partial t}=0
E)
\frac{1}{x} \frac{\partial}{\partial x}\left(x \frac{\partial T}{\partial x}\right)-\frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}

Passo 1

O enunciado dá uma condução de calor unidimensional, transiente, com condutividade térmica constante e sem geração interna, pedindo qual das equações listadas é a correta. Informações relevantes fornecidas:
  • A análise parte de um elemento diferencial de volume retangular (ou fatia) ao longo do eixo x.
  • Condutividade térmica é constante: k= constante.
  • Não há geração interna de calor: taxa volumétrica de geração igual a zero.
  • O processo é transiente (há dependência temporal de T).
    A pergunta implícita: qual equação diferencial parcial relaciona as derivadas espaciais e temporais de T(x,t) nas condições acima?

Passo 2

Definições, geometria do elemento e leis que vamos usar (tudo explicado devagarinho).
  • Considere uma fatia do material entre x e x+\mathrm{d}x com área de seção transversal A (perpendicular a x) e volume A\,\mathrm{d}x.
  • Temperatura local: T=T(x,t).
  • Densidade: \rho. Calor específico (a pressão/temperatura não variam de forma a afetar isso): c.
  • Condutividade térmica: k (constante).
  • Fluxo de calor (taxa de transferência de energia por condução) na direção x: denotamos por q_x com unidades de potência por área ( \mathrm{W/m^2}). Pela lei de Fourier, o fluxo é proporcional ao gradiente de temperatura:
q_x = -k \frac{\partial T}{\partial x}.
Explicação da lei de Fourier: o calor flui da região mais quente para a mais fria; o sinal negativo indica que se \partial T/\partial x>0 (temperatura aumentando com x), então o fluxo na direção positiva x é negativo (sai da fatia).

Passo 3

Escrevendo o balanço de energia no elemento diferencial (passo-chave).
  • Balanço geral: taxa de energia entrando por condução nas faces menos taxa de energia saindo por condução mais geração interna volumétrica vezes volume = taxa de variação de energia armazenada no volume.
  • Em símbolos,
\big(q_x\big|_{x}\,A\big) - \big(q_x\big|_{x+\mathrm{d}x}\,A\big) + \dot q_{\text{vol}}\,A\,\mathrm{d}x = \rho c \,A\,\mathrm{d}x \,\frac{\partial T}{\partial t},
onde \dot q_{\text{vol}} é geração volumétrica (aqui sabemos que \dot q_{\text{vol}}=0).
  • Como não há geração, fica
q_x\big|_{x} - q_x\big|_{x+\mathrm{d}x} = \rho c \,\mathrm{d}x \,\frac{\partial T}{\partial t}.
  • Expandimos q_x\big|_{x+\mathrm{d}x} por série de Taylor até termo de primeira ordem:
q_x\big|_{x+\mathrm{d}x} = q_x\big|_{x} + \frac{\partial q_x}{\partial x}\,\mathrm{d}x + o(\mathrm{d}x).
  • Substituindo e retirando termos de ordem superior:
q_x\big|_{x} - \left(q_x\big|_{x} + \frac{\partial q_x}{\partial x}\,\mathrm{d}x\right) = -\frac{\partial q_x}{\partial x}\,\mathrm{d}x = \rho c \,\mathrm{d}x \,\frac{\partial T}{\partial t}.
  • Dividindo por \mathrm{d}x (e eliminando A que estava em ambos os lados se incluído anteriormente), obtemos
- \frac{\partial q_x}{\partial x} = \rho c \,\frac{\partial T}{\partial t}.

Passo 4

Substituir a lei de Fourier e simplificar para obter a equação diferencial de calor.
  • Substituindo q_x = -k \dfrac{\partial T}{\partial x} na equação do passo anterior:
- \frac{\partial}{\partial x}\left(-k \frac{\partial T}{\partial x}\right) = \rho c \,\frac{\partial T}{\partial t}.
  • Como k é constante, isso simplifica para
- \left(-k \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}\right) = \rho c \,\frac{\partial T}{\partial t},
ou seja
k \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = \rho c \,\frac{\partial T}{\partial t}.
  • Agora definimos a difusividade térmica \alpha (um conceito muito usado em problemas de condução):
\alpha = \frac{k}{\rho c}.
Explicação: \alpha mede a rapidez com que a temperatura se difunde pelo material; unidades \mathrm{m^2/s}.
  • Dividindo ambos os lados por k ou reescrevendo usando \alpha, chegamos à forma clássica:
\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = \frac{1}{\alpha}\,\frac{\partial T}{\partial t}.

Passo 5

Interpretação final e comparação com as alternativas.
  • A equação obtida é a equação de calor unidimensional transiente sem geração e com propriedades constantes.
  • Ela corresponde exatamente à alternativa apresentada que tem a forma
\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}=\frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}.
  • Observação rápida por exclusão: alternativas que incluem \dot q representam geração interna (não aplicável aqui), alternativas com derivadas temporais nulas são casos estacionários (não aplicável ao caso transiente pedido), e alternativas com operadores em 1/x pertencem a coordenadas cilíndricas (não pedidas).

Resposta

A

Exercícios relacionados