A partir do balanço de energia em um elemento diferencial de volume retangular, a equação da condução de calor unidimensional transiente, com condutividade térmica constante e sem geração interna, é:
A) \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}=\frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}
B) \quad \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}+\frac{\dot{q}}{k}=\frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}
C) \quad \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}=0
D)
O enunciado dá uma condução de calor unidimensional, transiente, com condutividade térmica constante e sem geração interna, pedindo qual das equações listadas é a correta. Informações relevantes fornecidas:
A análise parte de um elemento diferencial de volume retangular (ou fatia) ao longo do eixo x.
Condutividade térmica é constante: k= constante.
Não há geração interna de calor: taxa volumétrica de geração igual a zero.
O processo é transiente (há dependência temporal de T).
A pergunta implícita: qual equação diferencial parcial relaciona as derivadas espaciais e temporais de T(x,t) nas condições acima?
Passo 2
Definições, geometria do elemento e leis que vamos usar (tudo explicado devagarinho).
Considere uma fatia do material entre x e x+\mathrm{d}x com área de seção transversal A (perpendicular a x) e volume A\,\mathrm{d}x.
Temperatura local: T=T(x,t).
Densidade: \rho. Calor específico (a pressão/temperatura não variam de forma a afetar isso): c.
Condutividade térmica: k (constante).
Fluxo de calor (taxa de transferência de energia por condução) na direção x: denotamos por q_x com unidades de potência por área (\mathrm{W/m^2}). Pela lei de Fourier, o fluxo é proporcional ao gradiente de temperatura:
q_x = -k \frac{\partial T}{\partial x}.
Explicação da lei de Fourier: o calor flui da região mais quente para a mais fria; o sinal negativo indica que se \partial T/\partial x>0 (temperatura aumentando com x), então o fluxo na direção positiva x é negativo (sai da fatia).
Passo 3
Escrevendo o balanço de energia no elemento diferencial (passo-chave).
Balanço geral: taxa de energia entrando por condução nas faces menos taxa de energia saindo por condução mais geração interna volumétrica vezes volume = taxa de variação de energia armazenada no volume.
Observação rápida por exclusão: alternativas que incluem \dot q representam geração interna (não aplicável aqui), alternativas com derivadas temporais nulas são casos estacionários (não aplicável ao caso transiente pedido), e alternativas com operadores em 1/x pertencem a coordenadas cilíndricas (não pedidas).