Determinar a profundidade do escoamento em uma elevação do fundo de 0,30 \mathrm{~m} num canal retangular, de 2 m de largura e profundidade de 1 m , para uma vazão de 1 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a profundidade do escoamento sobre uma elevação do fundo de 0,30\\ \mathrm{m} num canal retangular. Dados fornecidos:
Q=1\\ \mathrm{m^{3}/s},\quad B=2\\ \mathrm{m},\quad \text{profundidade a montante } h_{1}=1\\ \mathrm{m},
\text{elevação do fundo } \Delta z = 0,30\\ \mathrm{m}.çã
A pergunta é: qual é a profundidade h_{2} do escoamento exatamente sobre a elevação (a profundidade medida a partir do novo fundo elevado até a superfície livre)?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  • Específica de energia (ou energia específica) em um canal aberto é a energia por unidade de peso referida ao fundo do canal e vale
E = h + \frac{V^{2}}{2g},
onde h é a profundidade do escoamento, V é a velocidade média, e g é a aceleração da gravidade ( g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}). A primeira parcela h é a energia potencial relativa ao fundo; a segunda é a energia cinética por unidade de peso.
  • Relação entre vazão e velocidade num canal retangular: a área é A=Bh e a velocidade média é
V=\frac{Q}{A}=\frac{Q}{Bh}.
Substituindo em E obtemos, para um canal retangular,
E(h)=h+\frac{Q^{2}}{2g\,B^{2}h^{2}}.
  • Em escoamento sem perdas (ou desprezando atrito) e estacionário, o somatório da cota do fundo z mais a energia específica E é constante ao longo do escoamento:
z_{1}+E(h_{1})=z_{2}+E(h_{2}).
Se o fundo sobe \Delta z (ou seja z_{2}=z_{1}+\Delta z), então
E(h_{2})=E(h_{1})-\Delta z.
Portanto, calculamos E(h_{1}) com h_{1}=1\\ \mathrm{m}, subtraímos \Delta z, e resolvemos para h_{2} na equação E(h_{2})=E(h_{1})-\Delta z.

Passo 3

Calcular E(h_{1}). Primeiro calculamos a constante
a=\frac{Q^{2}}{2gB^{2}}.
Substituindo os valores:
a=\frac{1^{2}}{2\cdot 9,81\cdot 2^{2}}=\frac{1}{2\cdot 9,81\cdot 4}=\frac{1}{78,48}=0,0127449\\ (\text{m}).
Agora
E(h_{1})=h_{1}+\frac{Q^{2}}{2gB^{2}h_{1}^{2}}=1+\frac{a}{h_{1}^{2}}=1+\frac{0,0127449}{1^{2}}=1,0127449\\ \mathrm{m}.
A energia específica disponível sobre a elevação será
E(h_{2})=E(h_{1})-\Delta z=1,0127449-0,30=0,7127449\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Montamos a equação a ser resolvida para h_{2}:
E(h_{2})=h_{2}+\frac{a}{h_{2}^{2}}=0,7127449.
Multiplicando tudo por h_{2}^{2} para eliminar denominador:
h_{2}^{3}-0,7127449\,h_{2}^{2}+0,0127449=0.
Temos, portanto, um polinômio cúbico em h_{2}. Precisamos achar a raiz positiva física desse polinômio (a profundidade).

Passo 5

Resolvendo numericamente o cúbico (método de Newton, com passos detalhados):
Definimos
f(h)=h^{3}-0,7127449\,h^{2}+0,0127449, \qquad f'(h)=3h^{2}-2\cdot 0,7127449\,h.
Escolhemos chute inicial h^{(0)}=0,70\\ \mathrm{m} (porque esperamos profundidade menor que h_{1}=1\\ \mathrm{m}).
Iteração 1:
f(0,70)=0,343-0,7127449\cdot 0,49+0,0127449=0,006495\\ (\text{aprox.}),
f'(0,70)=3\cdot 0,49-2\cdot 0,7127449\cdot 0,70=1,47-0,998=0,472\\ (\text{aprox.}).
Atualização Newton:
h^{(1)}=0,70-\frac{0,006495}{0,472}=0,68596\\ \mathrm{m}.
Iteração 2:
f(0,68596)\approx -0,000102,
f'(0,68596)\approx 0,4337.
Atualização:
h^{(2)}=0,68596-\frac{-0,000102}{0,4337}=0,68619\\ \mathrm{m}.
Iteração 3:
Avaliação mostra convergência com erro muito pequeno (diferença < 10^{-6} m), portanto tomamos
h_{2}\approx 0,68619\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Verificação rápida do regime (sanidade física): velocidade sobre a elevação
V_{2}=\frac{Q}{B h_{2}}=\frac{1}{2\cdot 0,68619}=0,728\\ \mathrm{m/s}\\ (\text{aprox.}).
Número de Froude
\mathrm{Fr}_{2}=\frac{V_{2}}{\sqrt{g h_{2}}}=\frac{0,728}{\sqrt{9,81\cdot 0,68619}} \approx 0,28<1,
logo o escoamento permanece subcrítico; a hipótese de conservação de energia sem salto hidráulico é consistente.

Resposta

h_{2}=0,686\\ \mathrm{m}

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