Determinar a profundidade do escoamento em uma elevação do fundo de
num canal retangular, de 2 m de largura e profundidade de 1 m , para uma vazão de
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a profundidade do escoamento sobre uma elevação do fundo de
num canal retangular. Dados fornecidos:
A pergunta é: qual é a profundidade
do escoamento exatamente sobre a elevação (a profundidade medida a partir do novo fundo elevado até a superfície livre)?
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
- Específica de energia (ou energia específica) em um canal aberto é a energia por unidade de peso referida ao fundo do canal e vale
onde
é a profundidade do escoamento,
é a velocidade média, e
é a aceleração da gravidade (
). A primeira parcela
é a energia potencial relativa ao fundo; a segunda é a energia cinética por unidade de peso.
- Relação entre vazão e velocidade num canal retangular: a área é
e a velocidade média é
Substituindo em
obtemos, para um canal retangular,
- Em escoamento sem perdas (ou desprezando atrito) e estacionário, o somatório da cota do fundo
mais a energia específica é constante ao longo do escoamento:
Se o fundo sobe
(ou seja
), então
Portanto, calculamos
com
, subtraímos
, e resolvemos para
na equação
.
Passo 3
Calcular
. Primeiro calculamos a constante
Substituindo os valores:
Agora
A energia específica disponível sobre a elevação será
Passo 4
Montamos a equação a ser resolvida para
:
Multiplicando tudo por
para eliminar denominador:
Temos, portanto, um polinômio cúbico em
. Precisamos achar a raiz positiva física desse polinômio (a profundidade).
Passo 5
Resolvendo numericamente o cúbico (método de Newton, com passos detalhados):
Definimos
Definimos
Escolhemos chute inicial
(porque esperamos profundidade menor que
).
Iteração 1:
Atualização Newton:
Iteração 2:
Atualização:
Iteração 3:
Avaliação mostra convergência com erro muito pequeno (diferença < m), portanto tomamos
Avaliação mostra convergência com erro muito pequeno (diferença <
Passo 6
Verificação rápida do regime (sanidade física): velocidade sobre a elevação
Número de Froude
logo o escoamento permanece subcrítico; a hipótese de conservação de energia sem salto hidráulico é consistente.