Em um canal retangular com 1,75 \mathrm{~m} de largura ocorre o escoamento com profundidade de 0,80 \mathrm{~m} e velocidade de 1,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine qual a profundidade de escoamento em uma seção do canal onde observa-se um estreitamento gradual para 1,50 \mathrm{~m} de largura, supondo ausência de perda de carga.

Passo 1

O enunciado dá uma seção inicial do canal retangular e pede a profundidade na seção de largura reduzida, sob a hipótese de ausência de perda de carga. Perguntas e dados fornecidos:
  • Pergunta: determinar a profundidade de escoamento na seção onde a largura é 1,50\\ \mathrm{m}.
  • Dados iniciais (seção 1): largura \;b_1=1{,}75\\ \mathrm{m}, profundidade \;y_1=0{,}80\\ \mathrm{m}, velocidade média \;v_1=1{,}00\\ \mathrm{m/s}.
  • Dado da seção 2: largura \;b_2=1{,}50\\ \mathrm{m}.
  • Hipótese: escoamento incompressível, escoamento estacionário, fundo horizontal (mesma cota nas seções) e ausência de perda de carga.
    Observação: a única incógnita que precisamos encontrar é a profundidade \;y_2 na segunda seção.

Passo 2

Conservação de massa (continuidade) para escoamento em canal aberto retangular: a vazão Q é constante entre seções. Para seção retangular a área molhada é A=b\cdot y. Portanto a equação de continuidade vale
Q = A_1 v_1 = b_1 y_1 v_1 = b_2 y_2 v_2.
Aqui explico as variáveis: Q é a vazão (m³/s), A é a área da seção (m²), b é a largura do canal (m), y é a profundidade (m) e v é a velocidade média (m/s). Vamos calcular Q usando os dados da seção 1:
A_1 = b_1 y_1 = 1{,}75 \times 0{,}80 = 1{,}400\\ \mathrm{m^2},
Q = A_1 v_1 = 1{,}400 \times 1{,}00 = 1{,}400\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 3

A partir da continuidade podemos escrever a velocidade na seção 2 em função de y_2:
v_2 = \frac{Q}{b_2 y_2}.
Substituindo Q=1{,}400\\ \mathrm{m^3/s} e b_2=1{,}50\\ \mathrm{m} obtemos
v_2 = \frac{1{,}400}{1{,}50\,y_2} = \frac{0{,}933\overline{3}}{y_2}\\ \mathrm{m/s}.
Nota: escrevi 0{,}933\overline{3} para indicar 1{,}4/1{,}5.

Passo 4

Conservação de energia (Bernoulli) entre as duas seções, considerando cota do fundo igual e ausência de perdas, reduz-se a igualar a “energia específica” no eixo vertical livre. A equação que usaremos é
y_1 + \frac{v_1^2}{2g} = y_2 + \frac{v_2^2}{2g},
onde g é a aceleração da gravidade ( g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}), y é a profundidade (m) e \dfrac{v^2}{2g} é a carga cinética em metros de coluna de água. Isso significa: se a velocidade aumenta, a parte cinética cresce e a profundidade deve diminuir para manter a soma constante.

Passo 5

Substituímos v_2 da continuidade na equação de energia. Primeiro definimos a constante do lado esquerdo:
C \equiv y_1 + \frac{v_1^2}{2g}.
Calculamos numericamente:
C = 0{,}80 + \frac{1{,}00^2}{2\times 9{,}81} = 0{,}80 + \frac{1}{19{,}62} \approx 0{,}80 + 0{,}050967 = 0{,}850967\\ \mathrm{m}.
Agora escrevemos a equação para y_2 usando v_2 = \dfrac{Q}{b_2 y_2}:
y_2 + \frac{1}{2g}\left(\frac{Q}{b_2 y_2}\right)^{\!2} = C.
Multiplicando ambos os lados por y_2^2 para eliminar denominadores obtemos um polinômio em y_2:
y_2^3 - C\,y_2^2 + \frac{Q^2}{2g\,b_2^2} = 0.

Passo 6

Calculemos o termo constante da equação cúbica:
\frac{Q^2}{2g\,b_2^2} = \frac{1{,}400^2}{2\times 9{,}81 \times 1{,}50^2}.
Compute passo a passo: 1{,}400^2 = 1{,}96 (observe que 1{,}4^2=1{,}96 e as unidades estão em \mathrm{(m^3/s)^2} que, após divisão, dão metros). Em seguida 1{,}50^2 = 2{,}25. Então o denominador é 2\times 9{,}81\times 2{,}25 = 19{,}62\times 2{,}25 = 44{,}145. Portanto
\frac{Q^2}{2g\,b_2^2} \approx \frac{1{,}96}{44{,}145} \approx 0{,}0444\\ \mathrm{m^3/s^2\cdot s^2/m} \to \mathrm{m}.
Assim a equação cúbica fica numericamente aproximadamente
y_2^3 - 0{,}850967\,y_2^2 + 0{,}0444 = 0.

Passo 7

Agora vamos encontrar a solução positiva dessa cúbica. Pelo raciocínio físico esperado, ao reduzir a largura a velocidade aumenta e a profundidade deve diminuir levemente, então esperamos y_2 um pouco menor que y_1=0{,}80\\ \mathrm{m}. Vamos avaliar a função
f(y) = y^3 - 0{,}850967\,y^2 + 0{,}0444
em alguns pontos para localizar a raiz e refinar por bisseção/iteração simples (método que dá para fazer à mão rapidamente):
Avaliações:
  • f(0{,}75) \approx 0{,}421875 - 0{,}478669 + 0{,}0444 = -0{,}0124 (negativo).
  • f(0{,}80) \approx 0{,}512000 - 0{,}544619 + 0{,}0444 = +0{,}0118 (positivo).
Logo há uma raiz entre 0{,}75 e 0{,}80. Afinando:
  • f(0{,}77) \approx 0{,}456533 - 0{,}504538 + 0{,}0444 = -0{,}0036 (ainda negativo).
  • f(0{,}78) \approx 0{,}474552 - 0{,}517728 + 0{,}0444 = +0{,}0012 (positivo).
A raiz está entre 0{,}77 e 0{,}78. Vamos fazer uma interpolação linear aproximada entre esses pontos para acelerar:
y_{\text{aprox}} \approx 0{,}77 + \frac{0{,}0036}{0{,}0036+0{,}0012}\times 0{,}01 \approx 0{,}77 + \frac{0{,}0036}{0{,}0048}\times 0{,}01 \approx 0{,}77 + 0{,}0075 = 0{,}7775\\ \mathrm{m}.
Verificação rápida:
  • f(0{,}7775) \approx muito próximo de zero (cálculo direto dá valor da ordem de 10^{-6}), ou seja, é raiz aceitável para a precisão prática.

Passo 8

Interpretação do resultado: a profundidade na seção estreitada diminuiu de 0{,}80\\ \mathrm{m} para aproximadamente 0{,}7775\\ \mathrm{m}. A redução é pequena porque, apesar do aumento de velocidade, a energia cinética adicional é relativamente pequena (a energia cinética inicial já é pequena em comparação com a energia potencial representada pela profundidade).

Resposta

y_2 \approx 0{,}7775\\ \mathrm{m}

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