Em um canal retangular com
de largura ocorre o escoamento com profundidade de
e velocidade de
. Determine qual a profundidade de escoamento em uma seção do canal onde observa-se um estreitamento gradual para
de largura, supondo ausência de perda de carga.
Passo 1
O enunciado dá uma seção inicial do canal retangular e pede a profundidade na seção de largura reduzida, sob a hipótese de ausência de perda de carga. Perguntas e dados fornecidos:
- Pergunta: determinar a profundidade de escoamento na seção onde a largura é
. - Dados iniciais (seção 1): largura
, profundidade , velocidade média . - Dado da seção 2: largura
. - Hipótese: escoamento incompressível, escoamento estacionário, fundo horizontal (mesma cota nas seções) e ausência de perda de carga.
Observação: a única incógnita que precisamos encontrar é a profundidadena segunda seção.
Passo 2
Conservação de massa (continuidade) para escoamento em canal aberto retangular: a vazão
é constante entre seções. Para seção retangular a área molhada é
. Portanto a equação de continuidade vale
Aqui explico as variáveis:
é a vazão (m³/s),
é a área da seção (m²),
é a largura do canal (m),
é a profundidade (m) e
é a velocidade média (m/s). Vamos calcular
usando os dados da seção 1:
Passo 3
A partir da continuidade podemos escrever a velocidade na seção 2 em função de
:
Substituindo
e
obtemos
Nota: escrevi
para indicar
.
Passo 4
Conservação de energia (Bernoulli) entre as duas seções, considerando cota do fundo igual e ausência de perdas, reduz-se a igualar a “energia específica” no eixo vertical livre. A equação que usaremos é
onde
é a aceleração da gravidade (
),
é a profundidade (m) e
é a carga cinética em metros de coluna de água. Isso significa: se a velocidade aumenta, a parte cinética cresce e a profundidade deve diminuir para manter a soma constante.
Passo 5
Substituímos
da continuidade na equação de energia. Primeiro definimos a constante do lado esquerdo:
Calculamos numericamente:
Agora escrevemos a equação para
usando
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominadores obtemos um polinômio em
:
Passo 6
Calculemos o termo constante da equação cúbica:
Compute passo a passo:
(observe que
e as unidades estão em
que, após divisão, dão metros). Em seguida
. Então o denominador é
. Portanto
Assim a equação cúbica fica numericamente aproximadamente
Passo 7
Agora vamos encontrar a solução positiva dessa cúbica. Pelo raciocínio físico esperado, ao reduzir a largura a velocidade aumenta e a profundidade deve diminuir levemente, então esperamos
um pouco menor que
. Vamos avaliar a função
em alguns pontos para localizar a raiz e refinar por bisseção/iteração simples (método que dá para fazer à mão rapidamente):
Avaliações:
-
(negativo). -
(positivo).
Logo há uma raiz entre
e
. Afinando:
-
(ainda negativo). -
(positivo).
A raiz está entre
e
. Vamos fazer uma interpolação linear aproximada entre esses pontos para acelerar:
Verificação rápida:
-
muito próximo de zero (cálculo direto dá valor da ordem de ), ou seja, é raiz aceitável para a precisão prática.
Passo 8
Interpretação do resultado: a profundidade na seção estreitada diminuiu de
para aproximadamente
. A redução é pequena porque, apesar do aumento de velocidade, a energia cinética adicional é relativamente pequena (a energia cinética inicial já é pequena em comparação com a energia potencial representada pela profundidade).