Em um pequeno canal de drenagem, com 0,40 \mathrm{~m} de largura, foi implantada uma soleira forçando a ocorrência do regime crítico, com profundidade de 0,07 \mathrm{~m}. Sabendo-se que as profundidades a montante e a jusante da soleira são, respectivamente, 0,25 \mathrm{~m}, e 0,05 \mathrm{~m}, determinar os regimes de escoamento nestes pontos e calcular a vazão em trânsito.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar os regimes de escoamento nos pontos a montante e a jusante da soleira; (2) calcular a vazão em trânsito (a vazão que está passando pelo canal).
Dados fornecidos:
\;b=0,40\\ \mathrm{m} (largura do canal retangular),
\;y_c=0,07\\ \mathrm{m} (profundidade crítica na soleira),
\;y_{\text{mont}}=0,25\\ \mathrm{m} (profundidade a montante),
\;y_{\text{jus}}=0,05\\ \mathrm{m} (profundidade a jusante).
Não há outras informações no enunciado; assumimos aceleração da gravidade \;g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Conceito e fórmula para vazão em condição crítica (canal retangular).
Explicação didática rápida: em escoamentos livres define-se o número de Froude \;Fr por \;Fr=\dfrac{V}{\sqrt{g\,y}}, onde \;V é a velocidade média e \;y a profundidade. O escoamento é crítico quando \;Fr=1. Num canal retangular, a área é \;A=b\,y e a vazão é \;Q=A\,V=b\,y\,V. Se o escoamento é crítico em \;y=y_c, então \;V_c=\sqrt{g\,y_c}. Substituindo em Q obtemos a fórmula usada aqui:
Q = b\,y_c\,V_c = b\,y_c\,\sqrt{g\,y_c} = b\,\sqrt{g}\,y_c^{3/2}.
Aqui: \;b é a largura do canal, \;g a gravidade e \;y_c a profundidade crítica. Essa fórmula nos dá a vazão que produz exatamente \;Fr=1 na profundidade \;y_c.

Passo 3

Cálculo numérico da vazão usando \;y_c=0,07\\ \mathrm{m} e \;b=0,40\\ \mathrm{m}.
Calculemos \sqrt{g} e y_c^{3/2} separadamente:
\sqrt{g}=\sqrt{9,81}\approx 3,132.
y_c^{3/2}=y_c\sqrt{y_c}=0,07\cdot\sqrt{0,07}.
\sqrt{0,07}\approx 0,2646\quad\Rightarrow\quad y_c^{3/2}\approx 0,07\cdot0,2646=0,01852.
Agora a vazão:
Q = b\,\sqrt{g}\,y_c^{3/2}\approx 0,40\cdot 3,132\cdot 0,01852 \approx 0,02320\\ \mathrm{m^3/s}.
Arredondando convenientemente, tomamos \;Q\approx 0,0232\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 4

Como identificar regimes (aulinha rápida sobre Froude).
Definição: \;Fr=\dfrac{V}{\sqrt{g\,y}}. Interpretação:
  • Se \;Fr<1 então o escoamento é subcrítico (lento, domina a energia potencial; ondas contrárias se propagam a montante).
  • Se \;Fr>1 então o escoamento é supercrítico (rápido; informação não volta a montante).
    Para cada ponto vamos calcular \;V=\dfrac{Q}{b\,y} e depois \;Fr.

Passo 5

Cálculo para o ponto a montante ( y_{\text{mont}}=0,25\\ \mathrm{m}).
Velocidade média:
V_{\text{mont}}=\frac{Q}{b\,y_{\text{mont}}}=\frac{0,02320}{0,40\cdot 0,25}=\frac{0,02320}{0,100}=0,2320\\ \mathrm{m/s}.
Raiz para o denominador do Froude:
\sqrt{g\,y_{\text{mont}}}=\sqrt{9,81\cdot 0,25}=\sqrt{2,4525}\approx 1,566.
Número de Froude:
Fr_{\text{mont}}=\frac{V_{\text{mont}}}{\sqrt{g\,y_{\text{mont}}}}=\frac{0,2320}{1,566}\approx 0,148.
Conclusão: \;Fr_{\text{mont}}\approx 0,15<1, logo o escoamento a montante é subcrítico (escoamento tranquilo).

Passo 6

Cálculo para o ponto a jusante ( y_{\text{jus}}=0,05\\ \mathrm{m}).
Velocidade média:
V_{\text{jus}}=\frac{Q}{b\,y_{\text{jus}}}=\frac{0,02320}{0,40\cdot 0,05}=\frac{0,02320}{0,020}=1,160\\ \mathrm{m/s}.
Raiz para o Froude:
\sqrt{g\,y_{\text{jus}}}=\sqrt{9,81\cdot 0,05}=\sqrt{0,4905}\approx 0,700.
Número de Froude:
Fr_{\text{jus}}=\frac{V_{\text{jus}}}{\sqrt{g\,y_{\text{jus}}}}=\frac{1,160}{0,700}\approx 1,66.
Conclusão: \;Fr_{\text{jus}}\approx 1,66>1, logo o escoamento a jusante é supercrítico (escoamento rápido).

Passo 7

Interpretação física e checagem rápida: a profundidade crítica \;y_c=0,07\\ \mathrm{m} está entre as profundidades dadas ( y_{\text{jus}}=0,05<y_c<y_{\text{mont}}=0,25). Isso é consistente com a existência de uma soleira que forçou o regime crítico na crista: a montante o escoamento está subcrítico e a jusante está supercrítico, como os cálculos confirmam. Bom trabalho — você agora sabe como usar \;y_c para achar \;Q e como classificar o escoamento com o número de Froude!

Resposta

Montante: escoamento subcrítico, \;Fr_{\text{mont}}\approx 0,15.
Jusante: escoamento supercrítico, \;Fr_{\text{jus}}\approx 1,66.
Vazão em trânsito: \;Q\approx 0,0232\\ \mathrm{m^3/s}.

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