Determinar qual projeto é preferível:
Projeto
Projeto Y
investimento inicial
1.000
$600$
fluxo de caixa
200 /
$100 /$ ano
vida útil
100 anos
90 anos
custo do capital
a.a.
a.a.
valor residual
0
0
| Projeto
|
Projeto Y | |
| investimento inicial |
|
|
| fluxo de caixa |
|
|
| vida útil | 100 anos | 90 anos |
| custo do capital |
|
|
| valor residual | 0 | 0 |
Passo 1
O enunciado dá duas opções de projeto e pede que escolhamos a mais vantajosa. Dados fornecidos (copiados da tabela do enunciado):
Investimento inicial do Projeto
:
Fluxo de caixa anual do Projeto
:
por ano
Vida útil do Projeto
:
anos
Investimento inicial do Projeto Y:
Fluxo de caixa anual do Projeto Y:
por ano
Vida útil do Projeto Y:
anos
Custo de capital (taxa de desconto) para ambos:
a.a., ou seja,
Valor residual de ambos:
Pergunta: determinar qual projeto é preferível (qual produz mais valor/benefício econômico ao longo da sua vida, considerando a taxa de 10% a.a.).
Passo 2
Por que não basta comparar só o fluxo anual com o investimento? Porque as vidas são diferentes (
vs
anos). Quando vidas diferem, usamos o método do valor anual equivalente (EAA — Equivalent Annual Annuity) ou recuperações de capital para comparar projetos em bases anuais iguais. Vou usar o método do equivalente anual porque é direto, fácil de aplicar na prova e evita ter que igualar cadeias de substituição infinitas.
Passo 3
Apresento a fórmula que vamos usar e explico cada termo.
A fórmula do fator de recuperação de capital (fator anual equivalente para um montante presente) é
onde:
-
é a taxa de juros por período (aqui ); -
é o número de períodos (anos) da vida do projeto; -
transforma um valor presente numa série uniforme anual (ou seja, dá quanto é preciso pagar anualmente para “recuper” o principal a uma taxa em anos).
Para cada projeto, o pagamento anual equivalente líquido (ou valor anual equivalente líquido) é a diferença entre o fluxo anual recebido e a recuperação anual do investimento inicial. Ou seja,
onde
é o investimento inicial (positivo) e
é o fluxo anual recebido do projeto. O projeto com maior
é o preferível.
Passo 4
Aplicamos a fórmula para cada projeto. Primeiro definimos os valores:
Para
:
,
,
,
.
Para Y:
,
,
,
.
Queremos calcular
Passo 5
Calculamos os termos
que aparecem no denominador do fator. Esses expoentes são grandes, então vou mostrar que eles são praticamente zero e dar a aproximação numérica.
Calculemos aproximadamente
e
. Usamos a relação
com
.
Esses números são muito pequenos (próximos de zero), o que simplifica bastante os fatores.
Passo 6
Agora calculamos
para cada projeto usando as aproximações acima.
Para
(
):
Para Y (
):
Observação didática: quando
é grande e
não é muito pequeno,
tende a zero e o fator
tende a
. Aqui vemos
com correções da ordem de
–
.
Passo 7
Calculamos os equivalentes anuais líquidos com os fatores obtidos.
Para
:
Para Y:
Interpretação: o Projeto
gera aproximadamente
por ano de benefício líquido equivalente, enquanto o Projeto Y gera aproximadamente
por ano. A diferença é grande a favor de
.
Passo 8
Observação prática para a prova: quando as vidas são muito longas como aqui, é uma boa aproximação usar
, o que dá uma forma rápida de checar:
e
. A aproximação dá a mesma ordem e facilita calcular rápido sem calculadora. Mas se precisar de rigor numérico, calcule
como fizemos e ajuste o fator.
Passo 9
Conclusão: como
é maior que
, o projeto preferível é o Projeto
.
Resposta
Projeto