Determinar qual projeto é preferível:
Projeto \dot{\mathrm{X}} Projeto Y
investimento inicial \ 1.000 &$600$
fluxo de caixa \ 200 / ano &$100 /$ ano
vida útil 100 anos 90 anos
custo do capital 10 \% a.a. 10 \% a.a.
valor residual 0 0

Passo 1

O enunciado dá duas opções de projeto e pede que escolhamos a mais vantajosa. Dados fornecidos (copiados da tabela do enunciado):
Investimento inicial do Projeto \dot{\mathrm{X}}: \$\,1\,000
Fluxo de caixa anual do Projeto \dot{\mathrm{X}}: \$\,200 por ano
Vida útil do Projeto \dot{\mathrm{X}}: 100 anos
Investimento inicial do Projeto Y: \$\,600
Fluxo de caixa anual do Projeto Y: \$\,100 por ano
Vida útil do Projeto Y: 90 anos
Custo de capital (taxa de desconto) para ambos: 10\% a.a., ou seja, i=0,10
Valor residual de ambos: \$\,0
Pergunta: determinar qual projeto é preferível (qual produz mais valor/benefício econômico ao longo da sua vida, considerando a taxa de 10% a.a.).

Passo 2

Por que não basta comparar só o fluxo anual com o investimento? Porque as vidas são diferentes ( 100 vs 90 anos). Quando vidas diferem, usamos o método do valor anual equivalente (EAA — Equivalent Annual Annuity) ou recuperações de capital para comparar projetos em bases anuais iguais. Vou usar o método do equivalente anual porque é direto, fácil de aplicar na prova e evita ter que igualar cadeias de substituição infinitas.

Passo 3

Apresento a fórmula que vamos usar e explico cada termo.
A fórmula do fator de recuperação de capital (fator anual equivalente para um montante presente) é
(A/P,i,n)=\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}
onde:
  • i é a taxa de juros por período (aqui i=0,10);
  • n é o número de períodos (anos) da vida do projeto;
  • (A/P,i,n) transforma um valor presente P numa série uniforme anual A (ou seja, dá quanto é preciso pagar anualmente para “recuper” o principal P a uma taxa i em n anos).
Para cada projeto, o pagamento anual equivalente líquido (ou valor anual equivalente líquido) é a diferença entre o fluxo anual recebido e a recuperação anual do investimento inicial. Ou seja,
A_{\text{eq}} = -P\,(A/P,i,n) + A_{\text{recebido}}
onde P é o investimento inicial (positivo) e A_{\text{recebido}} é o fluxo anual recebido do projeto. O projeto com maior A_{\text{eq}} é o preferível.

Passo 4

Aplicamos a fórmula para cada projeto. Primeiro definimos os valores:
Para \dot{\mathrm{X}}: P_X=1000, A_X=200, n_X=100, i=0,10.
Para Y: P_Y=600, A_Y=100, n_Y=90, i=0,10.
Queremos calcular
A_{\text{eq},X} = -P_X\,(A/P,0,10,100) + 200
A_{\text{eq},Y} = -P_Y\,(A/P,0,10,90) + 100

Passo 5

Calculamos os termos (1+i)^{-n} que aparecem no denominador do fator. Esses expoentes são grandes, então vou mostrar que eles são praticamente zero e dar a aproximação numérica.
Calculemos aproximadamente (1,1)^{-100} e (1,1)^{-90}. Usamos a relação (1,1)^{-n}=\exp(-n\ln(1,1)) com \ln(1,1)\approx0,09531.
(1,1)^{-100}\approx e^{-100\cdot0,09531}=e^{-9,531}\approx7,3\times10^{-5}
(1,1)^{-90}\approx e^{-90\cdot0,09531}=e^{-8,578}\approx1,9\times10^{-4}
Esses números são muito pequenos (próximos de zero), o que simplifica bastante os fatores.

Passo 6

Agora calculamos (A/P,i,n) para cada projeto usando as aproximações acima.
Para \dot{\mathrm{X}} ( n=100):
(A/P,0,10,100)=\frac{0,10}{1-(1,1)^{-100}}\approx\frac{0,10}{1-7,3\times10^{-5}}=\frac{0,10}{0,999927}\approx0,1000073
Para Y ( n=90):
(A/P,0,10,90)=\frac{0,10}{1-(1,1)^{-90}}\approx\frac{0,10}{1-1,9\times10^{-4}}=\frac{0,10}{0,99981}\approx0,1000190
Observação didática: quando n é grande e i não é muito pequeno, (1+i)^{-n} tende a zero e o fator (A/P) tende a i. Aqui vemos (A/P)\approx0,1 com correções da ordem de 10^{-5} 10^{-4}.

Passo 7

Calculamos os equivalentes anuais líquidos com os fatores obtidos.
Para \dot{\mathrm{X}}:
\text{recuperação anual}_X = P_X\,(A/P,0,10,100)\approx1000\cdot0,1000073=100,0073çã
A_{\text{eq},X} = -100,0073 + 200 = 99,9927\\ (\text{dólares por ano})ó
Para Y:
\text{recuperação anual}_Y = P_Y\,(A/P,0,10,90)\approx600\cdot0,1000190=60,0114çã
A_{\text{eq},Y} = -60,0114 + 100 = 39,9886\\ (\text{dólares por ano})ó
Interpretação: o Projeto \dot{\mathrm{X}} gera aproximadamente \$\,99,99 por ano de benefício líquido equivalente, enquanto o Projeto Y gera aproximadamente \$\,39,99 por ano. A diferença é grande a favor de \dot{\mathrm{X}}.

Passo 8

Observação prática para a prova: quando as vidas são muito longas como aqui, é uma boa aproximação usar (A/P)\approx i, o que dá uma forma rápida de checar: A_{\text{eq},X}\approx-1000\cdot0,1+200=100 e A_{\text{eq},Y}\approx-600\cdot0,1+100=40. A aproximação dá a mesma ordem e facilita calcular rápido sem calculadora. Mas se precisar de rigor numérico, calcule (1+i)^{-n} como fizemos e ajuste o fator.

Passo 9

Conclusão: como A_{\text{eq},X} é maior que A_{\text{eq},Y}, o projeto preferível é o Projeto \dot{\mathrm{X}}.

Resposta

Projeto \dot{\mathrm{X}}

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