Qual dos equipamentos A ou B,é mais adequado economicamente? Considerar um custo de oportunidade do capital de 10% a.a.
Equipamento Investimento Custo operacional/ano Vida útil
A \ 18.000 &$2.860$ 13 anos
B \ 28.000 &$1.960$ 18 anos

Passo 1

O enunciado dá dois equipamentos e pede: “Qual dos equipamentos A ou B é mais adequado economicamente, considerando custo de oportunidade do capital de 10\% a.a.?”\n
Dados fornecidos:
\text{Equipamento A: Investimento inicial } \$\,18.000,\quad \text{Custo operacional/ano } \$\,2.860,\quad \text{Vida útil } 13\\ \text{anos}ú
\text{Equipamento B: Investimento inicial } \$\,28.000,\quad \text{Custo operacional/ano } \$\,1.960,\quad \text{Vida útil } 18\\ \text{anos}ú
Taxa de oportunidade do capital: \,10\% ao ano, ou seja \,i=10\%.

Passo 2

Escolha do método (explicando sem pressupor conhecimento): quando comparamos investimentos com vidas diferentes e queremos saber qual tem menor “custo anual” para a empresa, usamos o conceito de custo anual equivalente (ou valor anual equivalente). A ideia é transformar o investimento inicial (um montante único) em uma série anual equivalente (uma “prestação” anual) que, somada ao custo operacional anual, dá o custo anual total do equipamento. Quem tiver o menor custo anual equivalente é o mais econômico.\n
Fórmula que vamos usar: para transformar um valor presente P numa anuidade A equivalente ao longo de n anos com taxa i usamos o fator de recuperação de capital (capital recovery factor)
A = P\cdot \frac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}.
Explicando as letras: P é o investimento inicial (em reais), i é a taxa de juros anual (como decimal), n é a vida útil em anos, e A é a parcela anual fixa equivalente ao investimento. Depois somamos o custo operacional anual ao A para obter o custo anual total.

Passo 3

Vamos calcular primeiro os fatores (1+i)^{n} necessários. Aqui i=10\%=0,10, logo usamos (1+i)=1,1.\n
Calculando aprox.:
(1,1)^{13}\approx 3,4522712144
(1,1)^{18}\approx 5,559915
(essas potências foram obtidas por multiplicações sucessivas; para a prova você pode usar tabela de fatores ou calcular passo a passo usando potências conhecidas, por exemplo (1,1)^{10} e multiplicar por (1,1)^{3} etc.)

Passo 4

Agora calculamos o fator de recuperação de capital para o equipamento A ( P_A=\$\,18.000, n_A=13):
\text{CRF}_A=\frac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}=\frac{0,10\cdot (1,1)^{13}}{(1,1)^{13}-1}=\frac{0,10\cdot 3,4522712144}{3,4522712144-1}.
Calculando numerador e denominador:
\text{numerador}=0,34522712144,\quad \text{denominador}=2,4522712144.
Dividindo:
\text{CRF}_A\approx 0,14077.

Passo 5

Convertendo o investimento do equipamento A numa anuidade equivalente:
A_{\text{cap},A}=P_A\cdot \text{CRF}_A=18.000\cdot 0,14077\approx 2.533,86.
Esse é o “custo anual equivalente” do investimento inicial. Agora somamos o custo operacional anual ( \$\,2.860):
\text{Custo anual total }(\text{A}) = A_{\text{cap},A} + \text{operação}_A \approx 2.533,86 + 2.860 = 5.393,86.çã

Passo 6

Agora repetimos para o equipamento B ( P_B=\$\,28.000,\\ n_B=18). Calculamos o fator de recuperação:
\text{CRF}_B=\frac{0,10\cdot (1,1)^{18}}{(1,1)^{18}-1}=\frac{0,10\cdot 5,559915}{5,559915-1}.
Numerador e denominador:
\text{numerador}=0,5559915,\quad \text{denominador}=4,559915.
Dividindo:
\text{CRF}_B\approx 0,12193.

Passo 7

Convertendo o investimento do equipamento B em anuidade:
A_{\text{cap},B}=P_B\cdot \text{CRF}_B=28.000\cdot 0,12193\approx 3.414,04.
Somando o custo operacional anual ( \$\,1.960):
\text{Custo anual total }(\text{B}) = A_{\text{cap},B} + \text{operação}_B \approx 3.414,04 + 1.960 = 5.374,04.çã

Passo 8

Comparação final: temos
\text{Custo anual (A)}\approx \$\,5.393,86
\text{Custo anual (B)}\approx \$\,5.374,04
A diferença é
5.393,86 - 5.374,04 = 19,82,
ou seja, o equipamento B tem custo anual equivalente inferior em aproximadamente \$\,19,82 por ano. Logo, economicamente, o equipamento B é mais adequado.

Resposta

Equipamento B é mais adequado economicamente ( \text{custo anual A}\approx \$\,5.393,86; \text{custo anual B}\approx \$\,5.374,04).

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