Determinar qual projeto é preferível:
Projeto A Projeto B
investimento inicial \ 210.000 &$360.000$
custo operacional/ano \ 72.000 &$82.000$
vida útil 10 anos 12 anos
custo do capital 15 \% a.a. 18 \% a.a.
receitas/ano \ 160.000 &$210.000$
valor residual 0 (
) 50.000$

Passo 1

Vamos primeiro organizar o que o enunciado pede e quais dados ele dá de forma clara (sem começar a resolver ainda).
Pergunta do problema: determinar qual projeto é preferível (A ou B).
Dados fornecidos:
  • Projeto A:
    • investimento inicial: \$\,210{.}000
    • custo operacional/ano: \$\,72{.}000
    • vida útil: 10 anos
    • custo do capital: 15\% a.a.
    • receitas/ano: \$\,160{.}000
    • valor residual: \$\,0
  • Projeto B:
    • investimento inicial: \$\,360{.}000
    • custo operacional/ano: \$\,82{.}000
    • vida útil: 12 anos
    • custo do capital: 18\% a.a.
    • receitas/ano: \$\,210{.}000
    • valor residual: \$\,50{.}000
Observações úteis (extraídas do enunciado):
  • As receitas e os custos operacionais são anuais e constantes ao longo da vida útil.
  • Cada projeto tem um custo de capital (taxa) diferente.

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (explicado como se eu estivesse ao seu lado na prova)?
Motivação e escolha do método:
  • Os dois projetos têm vidas úteis diferentes ( 10 vs 12 anos). Para comparar projetos mutuamente exclusivos com vidas diferentes, uma forma prática é converter os fluxos de caixa em um valor equivalente anual (Equivalent Annual Worth — AW). Isso nos dá uma “renda líquida anual equivalente” que podemos comparar diretamente.
  • Cada projeto tem sua própria taxa de custo de capital. Vou usar a taxa indicada para cada projeto ao transformar seus fluxos em valor anual equivalente — isso é razoável se cada projeto tiver seu próprio custo de financiamento ou risco indicado. Se existisse uma única taxa de corte da empresa, usaríamos essa taxa comum para comparar; mas aqui o enunciado já fornece uma taxa por projeto, então usaremos cada uma delas.
O que faremos, em termos práticos:
  1. Calcular o fluxo de caixa líquido anual de operação: \text{receitas/ano} - \text{custos operacionais/ano}.
  2. Transformar o investimento inicial em uma série uniforme anual equivalente usando o fator de recuperação de capital (capital recovery factor).
  3. Transformar o valor residual em uma série uniforme anual equivalente (sinking-fund / A/F).
  4. Somar: \text{AW} = \text{(fluxo operacional anual)} - \text{(anualização do investimento)} + \text{(anualização do valor residual)}çãçã.
  5. Comparar os AWs: o maior AW indica o projeto preferível (maior lucro anual equivalente).
Fórmulas que vamos usar (explicadas):
  • Fator de recuperação de capital (transforma um valor presente P numa série anual A):
    A = P \cdot \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1}
    onde i é a taxa por período (ex.: 0{,}15 para 15\%) e n é o número de períodos (anos). Esse fator é frequentemente chamado de (A/P,i,n).
  • Fator de conversão de um valor futuro F para uma série anual A (sinking fund factor):
    A = F \cdot \frac{i}{(1+i)^n - 1}
    que também pode ser escrito como (A/F,i,n).
Significado das variáveis:
  • P: valor presente (no tempo zero), normalmente o investimento inicial (positivo ao calcular o valor anual equivalente de um desembolso).
  • F: valor futuro (salvamento) no final da vida do projeto.
  • i: taxa por período (ex.: 0{,}15 para 15\%).
  • n: número de períodos (anos).
  • A: série uniforme anual equivalente (o que queremos comparar entre projetos).
Agora vamos aplicar tudo isso passo a passo para cada projeto.

Passo 3

Projeto A — calcular o fluxo operacional anual líquido.
Fluxo operacional anual:
\text{opera\_anual}_A = \text{receitas/ano} - \text{custo operacional/ano} = \$\,160{.}000 - \$\,72{.}000
\text{opera\_anual}_A = \$\,88{.}000
Explicação curta: essa é a entrada líquida que o projeto gera a cada ano antes de considerar o investimento inicial e o valor residual.

Passo 4

Projeto A — anualizar o investimento inicial (sem valor residual).
Dados: P_A = \$\,210{.}000, i_A = 0{,}15, n_A = 10, F_A = \$\,0.
Calculamos primeiro (1+i)^{n}:
(1+i_A)^{n_A} = (1{,}15)^{10} \approx 4{,}045557736
(gera-se multiplicando 1{,}15 dez vezes; aqui usei a aproximação numérica com 6–9 casas para precisão suficiente).
Agora o fator (A/P,i,n):
\frac{i_A(1+i_A)^{n_A}}{(1+i_A)^{n_A}-1} = \frac{0{,}15\cdot 4{,}045557736}{4{,}045557736 - 1} = \frac{0{,}6068336604}{3{,}045557736} \approx 0{,}199369
Anualização do investimento:
A_{P,A} = P_A \cdot 0{,}199369 = \$\,210{.}000 \cdot 0{,}199369 \approx \$\,41{.}867{,}49
Como F_A = 0, não há anualização positiva de salvamento.

Passo 5

Projeto A — calcular o Annual Worth (AW).
\text{AW}_A = \text{opera\_anual}_A - A_{P,A} + A_{F,A}
onde A_{F,A}=0.
Substituindo:
\text{AW}_A = \$\,88{.}000 - \$\,41{.}867{,}49 = \$\,46{.}132{,}51
Interpretação: o projeto A equivale a um ganho líquido anual de aproximadamente \$\,46{.}132{,}51, considerando amortização do investimento ao custo de capital de 15\%.

Passo 6

Projeto B — calcular o fluxo operacional anual líquido.
Fluxo operacional anual:
\text{opera\_anual}_B = \text{receitas/ano} - \text{custo operacional/ano} = \$\,210{.}000 - \$\,82{.}000
\text{opera\_anual}_B = \$\,128{.}000

Passo 7

Projeto B — anualizar o investimento inicial e incluir o valor residual.
Dados: P_B = \$\,360{.}000, i_B = 0{,}18, n_B = 12, F_B = \$\,50{.}000.
Calculamos (1+i_B)^{n_B}:
(1{,}18)^{12} \approx 7{,}287592625
(novamente, produto repetido; usei aproximação numérica).
Fator de recuperação de capital (A/P,i,n):
\frac{i_B(1+i_B)^{n_B}}{(1+i_B)^{n_B}-1} = \frac{0{,}18\cdot 7{,}287592625}{7{,}287592625 - 1} = \frac{1{,}3117666725}{6{,}287592625} \approx 0{,}208678
Anualização do investimento:
A_{P,B} = P_B \cdot 0{,}208678 = \$\,360{.}000 \cdot 0{,}208678 \approx \$\,75{.}124{,}08
Agora anualização do valor residual F_B (fator (A/F,i,n) = \dfrac{i}{(1+i)^n - 1}):
\frac{i_B}{(1+i_B)^{n_B} - 1} = \frac{0{,}18}{7{,}287592625 - 1} = \frac{0{,}18}{6{,}287592625} \approx 0{,}0286439
Anualização do salvamento:
A_{F,B} = F_B \cdot 0{,}0286439 = \$\,50{.}000 \cdot 0{,}0286439 \approx \$\,1{.}432{,}20
Explicação curta: o A_{F,B} é o quanto, por ano, o valor residual de \$\,50{.}000 “paga” ao longo dos 12 anos, descontado pela taxa de 18\%.

Passo 8

Projeto B — calcular o Annual Worth (AW).
\text{AW}_B = \text{opera\_anual}_B - A_{P,B} + A_{F,B}
Substituindo:
\text{AW}_B = \$\,128{.}000 - \$\,75{.}124{,}08 + \$\,1{.}432{,}20 = \$\,54{.}308{,}12
Interpretação: o projeto B equivale a um ganho líquido anual de aproximadamente \$\,54{.}308{,}12, considerando amortização do investimento ao custo de capital de 18\% e o valor residual.

Passo 9

Comparação final e decisão.
Temos:
\text{AW}_A \approx \$\,46{.}132{,}51
\text{AW}_B \approx \$\,54{.}308{,}12
Como queremos o projeto com maior ganho anual equivalente, escolhemos o projeto com maior \text{AW}: isso é o Projeto B.
Comentário breve de interpretação (pra te animar): apesar do custo de capital maior ( 18\%), o Projeto B gera uma diferença operacional anual e um valor residual que, depois de anualizados, deixam-no mais rentável em termos anuais equivalentes. Então o esforço extra compensa — e a conta mostra isso claramente.

Resposta

Projeto B é preferível; \text{AW}_A \approx \$\,46{.}132{,}51 e \text{AW}_B \approx \$\,54{.}308{,}12.

Exercícios relacionados