Determinar as reações no apoio C. Considerar E I constante para ambas as vigas.

Passo 1

Temos um sistema de duas vigas acopladas em B:
– Viga superior D\!B com apoio encastrado em D e apoio simples (rolete) em B, carregada por uma força vertical P aplicada em B. Essa viga transmite ao ponto B uma reação vertical R_B.
– Viga inferior A\!C simplesmente apoiada em A e em C, de vão total L, recebendo no meio do vão (em B, a L/2 de cada apoio) a carga R_B.
Queremos a reação em C. Como as duas vigas têm o mesmo EI, usamos compatibilidade de flechas em B e equilíbrio de cada viga.

Passo 2

Calcular a flecha na viga superior em B devido aos carregamentos P (para baixo) e R_B (para cima), tratando-os como um único carregamento concentrado (P-R_B) em x=a, com a=L/2.
Para 0\le x\le a, o momento fletor é
M(x)=(P - R_B)\,(a - x).
Logo
EI\,w''(x)=M(x) \quad\Longrightarrow\quad w''(x)=\frac{P-R_B}{EI}(a-x).
Integrando duas vezes e aplicando w(0)=0, w'(0)=0, obtemos
w(x) =\frac{P-R_B}{EI}\Bigl(\tfrac{a\,x^2}{2}-\tfrac{x^3}{6}\Bigr).
Em x=a, a flecha da viga superior é
\delta_{\text{sup}} =w(a) =\frac{P-R_B}{EI}\Bigl(\tfrac{a^3}{2}-\tfrac{a^3}{6}\Bigr) =\frac{(P-R_B)\,a^3}{3\,EI} =\frac{(P-R_B)\,L^3}{24\,EI}.

Passo 3

Calcular a flecha na viga inferior em B para uma carga concentrada R_B no meio do vão L. A fórmula clássica dá
\delta_{\text{inf}} =\frac{R_B\,L^3}{48\,EI}.

Passo 4

Compatibilidade em B: as duas vigas têm a mesma flecha em B, isto é
\delta_{\text{sup}}=\delta_{\text{inf}} \;\Longrightarrow\; \frac{(P-R_B)L^3}{24\,EI} =\frac{R_B\,L^3}{48\,EI} \;\Longrightarrow\; 2\,(P-R_B)=R_B \;\Longrightarrow\; R_B=\frac{2P}{3}.

Passo 5

Na viga inferior simplesmente apoiada com carga R_B em B (meio do vão), as reações em A e C são iguais:
R_C=\frac{R_B}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2P}{3}=\frac{P}{3}.

Resposta

A reação no apoio C é
R_C=\frac{P}{3}.

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