4- Determinar a relação entre os ângulos \theta_{1} e \theta_{2} (no sistema “l”) em função dos quais as duas partículas resultantes de uma desintegração se afastam.
Solução. Num sistema “c”, os ângulos de afastamento de duas partículas são ligados por \theta_{10}=\pi-\theta_{20}. Designando \theta_{10} simplesmente por \theta_{0} e aplicando fórmula (16,5) a cada uma das partículas, teremos:
V+v_{10} \cos \theta_{0}=v_{10} \operatorname{sen} \theta_{0} \operatorname{ctg} \theta_{1}, \quad V-v_{20} \cos \theta_{0}=v_{20} \operatorname{sen} \theta_{0} \operatorname{ctg} \theta_{2}
Precisamos eliminar \theta_{0} dessas duas igualdades. Para tal, extraiamos primeiramente \cos \theta_{0} e \operatorname{sen} \theta_{0}, após o que formaremos a soma \cos ^{2} \theta_{0}+\operatorname{sen}^{2} \theta_{0}=1
Consideremos igualmente que \frac{v_{10}}{v_{20}}=\frac{m_{2}}{m_{1}} \mathbf{e}, utilizando a (16,2), encontraremo finalmente a equação seguinte
\begin{gathered} \frac{m_{2}}{m_{1}} \operatorname{sen}^{2} \theta_{2}+\frac{m_{1}}{m_{2}} \operatorname{sen}^{2} \theta_{1}-2 \operatorname{sen} \theta_{1} \operatorname{sen} \theta_{2} \cos \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)= \\\ =\frac{2 \varepsilon}{\left(m_{1}+m_{2}\right) V^{2}} \operatorname{sen}^{2}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) \end{gathered}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a relação entre os ângulos \theta_{1} e \theta_{2} no sistema “l” (sistema do laboratório), isto é, encontrar uma equação que ligue \theta_{1} e \theta_{2}.
Informações e notação dadas (tudo que vamos usar):
  • No sistema “c” (centro de massa) as direções de emissão satisfazem \theta_{10}=\pi-\theta_{20}. Denotamos \theta_{10}=\theta_{0}.
  • Aplicando a fórmula indicada ao movimento relativo entre os sistemas obtemos duas equações (fornecidas no enunciado):
V+v_{10}\cos\theta_{0}=v_{10}\sin\theta_{0}\cot\theta_{1},
V-v_{20}\cos\theta_{0}=v_{20}\sin\theta_{0}\cot\theta_{2}.
  • Temos a razão dos módulos das velocidades no centro-de-massa dada por
\frac{v_{10}}{v_{20}}=\frac{m_{2}}{m_{1}},
que vem da conservação do momento no referencial do centro de massa (isto é, m_{1}v_{10}=m_{2}v_{20}).
  • A energia cinética disponível na desintegração no sistema do centro de massa é \varepsilon. No sistema “c” vale
\frac{1}{2}m_{1}v_{10}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{20}^{2}=\varepsilon,
o que nos permitirá escrever v_{10} e v_{20} em função de \varepsilon e das massas.
  • Objetivo final: eliminar \theta_{0}, v_{10}, v_{20} (usando a relação de momentos e a energia) e obter uma equação envolvendo apenas \theta_{1}, \theta_{2}, as massas m_{1},m_{2}, V e \varepsilon.

Passo 2

Interpretação física e origem das equações iniciais (uma pequena aula):
  • As duas equações fornecidas relacionam componentes de velocidade das partículas no sistema laboratório (“l”) com as componentes no sistema centro-de-massa (“c”).
  • Em detalhe: para a partícula 1, no sistema “l” a componente longitudinal (na direção do movimento do CM) é V+v_{10}\cos\theta_{0} e a componente perpendicular é v_{10}\sin\theta_{0}. O ângulo \theta_{1} no laboratório satisfaz \tan\theta_{1}=\dfrac{v_{10}\sin\theta_{0}}{V+v_{10}\cos\theta_{0}}. Reescrevendo em termos de \cot obtemos a primeira equação.
  • Para a partícula 2, pelo fato de \theta_{20}=\pi-\theta_{0} tem-se \cos\theta_{20}=-\cos\theta_{0} e \sin\theta_{20}=\sin\theta_{0}; a mesma razão geométrica dá a segunda equação.
Definimos, para simplificar, s=\sin\theta_{0} e c=\cos\theta_{0}. Também escrevemos \alpha=\cot\theta_{1} e \beta=\cot\theta_{2}. Assim as duas equações ficam mais manejáveis.

Passo 3

Escrever o sistema linear em [c) e s e resolvê-lo:
  • Reescrevendo as duas equações fornecidas e dividindo convenientemente:
Da primeira:
V+v_{10}c=v_{10}s\alpha \quad\Longrightarrow\quad c - s\alpha = -\frac{V}{v_{10}}.
Da segunda:
V-v_{20}c=v_{20}s\beta \quad\Longrightarrow\quad c + s\beta = \frac{V}{v_{20}}.
  • Temos o sistema linear em c e s:
\begin{cases} c - s\alpha = -\dfrac{V}{v_{10}},\\[6pt] c + s\beta = \dfrac{V}{v_{20}}. \end{cases}
  • Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos:
s(\alpha+\beta)=V\!\left(\frac{1}{v_{10}}+\frac{1}{v_{20}}\right).
Portanto
\boxed{s=\dfrac{V\big(\dfrac{1}{v_{10}}+\dfrac{1}{v_{20}}\big)}{\alpha+\beta} =\dfrac{V\,(v_{10}+v_{20})}{v_{10}v_{20}\,(\alpha+\beta)}.}
  • Somando as duas equações e isolando c\] (ou usando a segunda direto) dá \[c=\dfrac{V}{v_{20}}-s\beta.\] Substituindo a expressão de \(s e simplificando (colocando tudo sobre um denominador comum) resulta em
\boxed{c=\dfrac{V\,(v_{10}\alpha - v_{20}\beta)}{v_{10}v_{20}\,(\alpha+\beta)}.}
Essas duas fórmulas expressam \sin\theta_{0} e \cos\theta_{0} em termos de V,v_{10},v_{20},\alpha,\beta.]

Passo 4

Formar a identidade trigonométrica c^{2}+s^{2}=1 e montar a equação intermediária:
  • Substituímos as expressões de s e c em c^{2}+s^{2}=1. Para clareza, escrevemos em forma compacta:
s=\frac{V\,(v_{10}+v_{20})}{v_{10}v_{20}(\alpha+\beta)},\qquad c=\frac{V\,(v_{10}\alpha - v_{20}\beta)}{v_{10}v_{20}(\alpha+\beta)}.
  • Então
1=\frac{V^{2}}{v_{10}^{2}v_{20}^{2}(\alpha+\beta)^{2}}\Big[(v_{10}+v_{20})^{2}+(v_{10}\alpha-v_{20}\beta)^{2}\Big].
  • Multiplicando ambos os lados pelo denominador obtemos a equação útil:
V^{2}\Big[(v_{10}+v_{20})^{2}+(v_{10}\alpha-v_{20}\beta)^{2}\Big]=v_{10}^{2}v_{20}^{2}(\alpha+\beta)^{2}.

Passo 5

Expressar \alpha,\beta em termos de senos e cossenos e simplificar a identidade:
  • Lembrando \alpha=\cot\theta_{1}=\dfrac{\cos\theta_{1}}{\sin\theta_{1}} e \beta=\cot\theta_{2}=\dfrac{\cos\theta_{2}}{\sin\theta_{2}}. Denotando s_{1}=\sin\theta_{1}, c_{1}=\cos\theta_{1}, s_{2}=\sin\theta_{2}, c_{2}=\cos\theta_{2}, podemos reescrever \alpha+\beta=\dfrac{c_{1}s_{2}+c_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}=\dfrac{\sin(\theta_{1}+\theta_{2})}{s_{1}s_{2}}.
  • Substituindo estas expressões e desenvolvendo os quadrados (faça com cuidado: desenvolver e agrupar termos) a soma dentro dos colchetes reduz-se, após cancelamentos notáveis, à forma
v_{10}^{2}s_{2}^{2}+v_{20}^{2}s_{1}^{2}-2v_{10}v_{20}s_{1}s_{2}\cos(\theta_{1}+\theta_{2}).
  • Assim a identidade c^{2}+s^{2}=1 conduz à equação
V^{2}\Big[v_{10}^{2}s_{2}^{2}+v_{20}^{2}s_{1}^{2}-2v_{10}v_{20}s_{1}s_{2}\cos(\theta_{1}+\theta_{2})\Big] =v_{10}^{2}v_{20}^{2}\sin^{2}(\theta_{1}+\theta_{2}).

Passo 6

Dividir por v_{10}^{2}v_{20}^{2} para obter forma com recíprocos das velocidades:
  • Dividindo ambos os lados por v_{10}^{2}v_{20}^{2} obtemos
V^{2}\Big[\frac{s_{2}^{2}}{v_{20}^{2}}+\frac{s_{1}^{2}}{v_{10}^{2}}-\frac{2s_{1}s_{2}\cos(\theta_{1}+\theta_{2})}{v_{10}v_{20}}\Big] =\sin^{2}(\theta_{1}+\theta_{2}).

Passo 7

Usar conservação do momento no CM e a energia liberada para expressar as velocidades em função das massas e de \varepsilon:
  • Do momento no CM: m_{1}v_{10}=m_{2}v_{20}. Logo
\frac{v_{10}}{v_{20}}=\frac{m_{2}}{m_{1}}.
  • Da energia cinética no CM:
\frac{1}{2}m_{1}v_{10}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{20}^{2}=\varepsilon.
Usando v_{20}=\dfrac{m_{1}}{m_{2}}v_{10} para eliminar v_{20} e resolvendo para v_{10}^{2} e v_{20}^{2} obtém-se
v_{10}^{2}=\frac{2\varepsilon\,m_{2}}{m_{1}(m_{1}+m_{2})}, \qquad v_{20}^{2}=\frac{2\varepsilon\,m_{1}}{m_{2}(m_{1}+m_{2})}.
  • Além disso, o produto
v_{10}v_{20}=\frac{2\varepsilon}{m_{1}+m_{2}},
pois multiplica-se as expressões acima e tira-se raiz (ou calcula-se diretamente a partir da energia e da relação de momentos).

Passo 8

Substituir as expressões de 1/v_{10}^{2}, 1/v_{20}^{2} e 1/(v_{10}v_{20}) na equação do Passo 6:
  • As recíprocas são
\frac{1}{v_{10}^{2}}=\frac{m_{1}(m_{1}+m_{2})}{2\varepsilon\,m_{2}}, \qquad \frac{1}{v_{20}^{2}}=\frac{m_{2}(m_{1}+m_{2})}{2\varepsilon\,m_{1}}, \qquad \frac{1}{v_{10}v_{20}}=\frac{m_{1}+m_{2}}{2\varepsilon}.
  • Substituindo essas três expressões na equação do Passo 6 e fatorando \dfrac{m_{1}+m_{2}}{2\varepsilon} obtemos
V^{2}\cdot\frac{m_{1}+m_{2}}{2\varepsilon}\Big[\frac{m_{2}}{m_{1}}s_{2}^{2}+\frac{m_{1}}{m_{2}}s_{1}^{2}-2s_{1}s_{2}\cos(\theta_{1}+\theta_{2})\Big] =\sin^{2}(\theta_{1}+\theta_{2}).

Passo 9

Isolar o parêntese e escrever a relação final entre \theta_{1} e \theta_{2}:
  • Multiplicando em cruz para isolar o conteúdo do colchete, obtemos a relação desejada:
\boxed{\frac{m_{2}}{m_{1}}\sin^{2}\theta_{2}+\frac{m_{1}}{m_{2}}\sin^{2}\theta_{1}-2\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}\cos(\theta_{1}+\theta_{2}) =\frac{2\varepsilon}{(m_{1}+m_{2})V^{2}}\sin^{2}(\theta_{1}+\theta_{2}).}

Resposta

\dfrac{m_{2}}{m_{1}}\sin^{2}\theta_{2}+\dfrac{m_{1}}{m_{2}}\sin^{2}\theta_{1}-2\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}\cos(\theta_{1}+\theta_{2})=\dfrac{2\varepsilon}{(m_{1}+m_{2})V^{2}}\sin^{2}(\theta_{1}+\theta_{2})

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