4- Determinar a relação entre os ângulos \theta_{1} e \theta_{2} (no sistema “l”) em função dos quais as duas partículas resultantes de uma desintegração se afastam.
Solução. Num sistema “c”, os ângulos de afastamento de duas partículas são ligados por \theta_{10}=\pi-\theta_{20}. Designando \theta_{10} simplesmente por \theta_{0} e aplicando fórmula (16,5) a cada uma das partículas, teremos:
Precisamos eliminar \theta_{0} dessas duas igualdades. Para tal, extraiamos primeiramente \cos \theta_{0} e \operatorname{sen} \theta_{0}, após o que formaremos a soma \cos ^{2} \theta_{0}+\operatorname{sen}^{2} \theta_{0}=1
Consideremos igualmente que \frac{v_{10}}{v_{20}}=\frac{m_{2}}{m_{1}} \mathbf{e}, utilizando a (16,2), encontraremo finalmente a equação seguinte
Determinar a relação entre os ângulos \theta_{1} e \theta_{2} no sistema “l” (sistema do laboratório), isto é, encontrar uma equação que ligue \theta_{1} e \theta_{2}.
Informações e notação dadas (tudo que vamos usar):
No sistema “c” (centro de massa) as direções de emissão satisfazem \theta_{10}=\pi-\theta_{20}. Denotamos \theta_{10}=\theta_{0}.
Aplicando a fórmula indicada ao movimento relativo entre os sistemas obtemos duas equações (fornecidas no enunciado):
o que nos permitirá escrever v_{10} e v_{20} em função de \varepsilon e das massas.
Objetivo final: eliminar \theta_{0}, v_{10}, v_{20} (usando a relação de momentos e a energia) e obter uma equação envolvendo apenas \theta_{1}, \theta_{2}, as massas m_{1},m_{2}, V e \varepsilon.
Passo 2
Interpretação física e origem das equações iniciais (uma pequena aula):
As duas equações fornecidas relacionam componentes de velocidade das partículas no sistema laboratório (“l”) com as componentes no sistema centro-de-massa (“c”).
Em detalhe: para a partícula 1, no sistema “l” a componente longitudinal (na direção do movimento do CM) é V+v_{10}\cos\theta_{0} e a componente perpendicular é v_{10}\sin\theta_{0}. O ângulo \theta_{1} no laboratório satisfaz \tan\theta_{1}=\dfrac{v_{10}\sin\theta_{0}}{V+v_{10}\cos\theta_{0}}. Reescrevendo em termos de \cot obtemos a primeira equação.
Para a partícula 2, pelo fato de \theta_{20}=\pi-\theta_{0} tem-se \cos\theta_{20}=-\cos\theta_{0} e \sin\theta_{20}=\sin\theta_{0}; a mesma razão geométrica dá a segunda equação.
Definimos, para simplificar, s=\sin\theta_{0} e c=\cos\theta_{0}. Também escrevemos \alpha=\cot\theta_{1} e \beta=\cot\theta_{2}. Assim as duas equações ficam mais manejáveis.
Passo 3
Escrever o sistema linear em [c) e s e resolvê-lo:
Reescrevendo as duas equações fornecidas e dividindo convenientemente:
Da primeira:
V+v_{10}c=v_{10}s\alpha \quad\Longrightarrow\quad c - s\alpha = -\frac{V}{v_{10}}.
Da segunda:
V-v_{20}c=v_{20}s\beta \quad\Longrightarrow\quad c + s\beta = \frac{V}{v_{20}}.
Temos o sistema linear em c e s:
\begin{cases} c - s\alpha = -\dfrac{V}{v_{10}},\\[6pt] c + s\beta = \dfrac{V}{v_{20}}. \end{cases}
Somando as duas equações e isolando c\] (ou usando a segunda direto) dá
\[c=\dfrac{V}{v_{20}}-s\beta.\]
Substituindo a expressão de \(s e simplificando (colocando tudo sobre um denominador comum) resulta em
Substituindo estas expressões e desenvolvendo os quadrados (faça com cuidado: desenvolver e agrupar termos) a soma dentro dos colchetes reduz-se, após cancelamentos notáveis, à forma