Determine o periodo de oscilalçao em função da energia, por ocilação do movimento de uma particula de massa m num campo onde a energia potencial seja:
. Dica: usa a função gama para resolver a integral.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede: determinar o período de oscilação como função da energia para uma partícula de massa
sujeita ao potencial . - Dados relevantes:
- massa:
, - constante do potencial:
, - expoente:
, - energia da partícula:
(energia total que determina os pontos de inversão).
- massa:
- Observação útil (sem resolver ainda): como
é simétrica ( ), o movimento é limitado entre dois pontos-simétricos onde .
Passo 2
Escrevendo a relação energia cinética + potencial e isolando a velocidade:
- Conservação de energia para a partícula:
- Daí a velocidade instantânea é
- O período
de uma oscilação completa (ida e volta) pode ser escrito pela integral do tempo gasto para ir de um ponto de inversão ao outro:
- Aqui os pontos de inversão são
e , com tal que .
Passo 3
Determinar o ponto de inversão
e escrever a integral específica:
- Como
, para temos . O ponto de inversão positivo satisfaz - Usando simetria (
), a integral do período fica
- Simplificando o fator
mais tarde ficará mais claro; por enquanto mantemos a forma integral.
Passo 4
Troca de variável para fatorar dependência em
e
:
- Faço a substituição sem dimensão
com . Então e, usando ,
- Substituindo na integral obtém-se
- Logo o período fica
- Substituindo
e simplificando a dependência em ,
- Assim
Passo 5
Avaliar a integral usando Beta/Gamma:
- Denote
- Faça a mudança
. Então e . Os limites vão de a . Portanto
- A integral à direita é a função Beta:
- Comparando, temos
e . Logo
- Lembrando
, obtemos
Passo 6
Juntando tudo e simplificando os fatores:
- Substituindo
em da Passo 4:
- Simplifique o fator numérico:
- Portanto a forma final compacta é
Passo 7
Pequena verificação e comentário didático (ânimo!):
- Verificação para
(oscilador harmônico com ): substituindo temos e , e a potência de é (indica independência de ). A expressão reduz-se a , que é o período do oscilador harmônico — ótimo sinal de consistência. - Interpretação rápida: o expoente de
é . Para o período aumenta com ; para o período diminui com ; para é independente de .