Determine o periodo de oscilalçao em função da energia, por ocilação do movimento de uma particula de massa m num campo onde a energia potencial seja:
\mathrm{U}=\mathrm{A}|\mathrm{x}|^{\mathrm{n}}. Dica: usa a função gama para resolver a integral.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: determinar o período de oscilação como função da energia para uma partícula de massa m sujeita ao potencial \,U(x)=A|x|^{n}.
  • Dados relevantes:
    • massa: m,
    • constante do potencial: A>0,
    • expoente: n>0,
    • energia da partícula: E>0 (energia total que determina os pontos de inversão).
  • Observação útil (sem resolver ainda): como U(x) é simétrica ( U(-x)=U(x)), o movimento é limitado entre dois pontos-simétricos \pm x_0 onde U(x_0)=E.

Passo 2

Escrevendo a relação energia cinética + potencial e isolando a velocidade:
  • Conservação de energia para a partícula: E=\frac{1}{2}m v^{2}+U(x).
  • Daí a velocidade instantânea é v(x)=\sqrt{\frac{2}{m}\bigl(E-U(x)\bigr)}.
  • O período T de uma oscilação completa (ida e volta) pode ser escrito pela integral do tempo gasto para ir de um ponto de inversão ao outro:
T=2\int_{x_{\min}}^{x_{\max}}\frac{dx}{v(x)}.
  • Aqui os pontos de inversão são x_{\min}=-x_{0} e x_{\max}=+x_{0}, com x_{0} tal que U(x_{0})=E.

Passo 3

Determinar o ponto de inversão x_{0} e escrever a integral específica:
  • Como U(x)=A|x|^{n}, para x\ge0 temos U(x)=Ax^{n}. O ponto de inversão positivo satisfaz E=Ax_{0}^{n}\quad\Rightarrow\quad x_{0}=\left(\frac{E}{A}\right)^{1/n}.
  • Usando simetria ( v(-x)=v(x)), a integral do período fica
T=2\int_{-x_0}^{x_0}\frac{dx}{\sqrt{\dfrac{2}{m}\bigl(E-A|x|^{n}\bigr)}} =4\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{0}^{x_0}\frac{dx}{\sqrt{E-Ax^{n}}}.
  • Simplificando o fator \sqrt{m/2} mais tarde ficará mais claro; por enquanto mantemos a forma integral.

Passo 4

Troca de variável para fatorar dependência em E e A:
  • Faço a substituição sem dimensão x=x_{0}u com 0\le u\le1. Então dx=x_{0}\,du e, usando Ax_{0}^{n}=E,
E-Ax^{n}=E-Ax_{0}^{n}u^{n}=E(1-u^{n}).
  • Substituindo na integral obtém-se
\int_{0}^{x_0}\frac{dx}{\sqrt{E-Ax^{n}}} =\frac{x_{0}}{\sqrt{E}}\int_{0}^{1}\frac{du}{\sqrt{1-u^{n}}}.
  • Logo o período fica
T=4\sqrt{\frac{m}{2}}\;\frac{x_{0}}{\sqrt{E}}\;\int_{0}^{1}\frac{du}{\sqrt{1-u^{n}}}.
  • Substituindo x_{0}=\left(\dfrac{E}{A}\right)^{1/n} e simplificando a dependência em E,
\frac{x_{0}}{\sqrt{E}}=A^{-1/n}E^{\frac{1}{n}-\frac{1}{2}}.
  • Assim
T=4\sqrt{\frac{m}{2}}\;A^{-1/n}\;E^{\frac{1}{n}-\frac{1}{2}}\;\int_{0}^{1}\frac{du}{\sqrt{1-u^{n}}}.

Passo 5

Avaliar a integral usando Beta/Gamma:
  • Denote I:=\int_{0}^{1}\frac{du}{\sqrt{1-u^{n}}}=\int_{0}^{1}(1-u^{n})^{-1/2}\,du.
  • Faça a mudança t=u^{n}. Então u=t^{1/n} e du=\dfrac{1}{n}t^{\frac{1}{n}-1}dt. Os limites vão de t=0 a t=1. Portanto
I=\frac{1}{n}\int_{0}^{1}t^{\frac{1}{n}-1}(1-t)^{-1/2}\,dt.
  • A integral à direita é a função Beta:
\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.
  • Comparando, temos a=\dfrac{1}{n} e b=\dfrac{1}{2}. Logo
I=\frac{1}{n}B\!\left(\frac{1}{n},\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{n}\,\frac{\Gamma\!\left(\frac{1}{n}\right)\Gamma\!\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2}\right)}.
  • Lembrando \Gamma\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}, obtemos
I=\frac{\sqrt{\pi}}{n}\,\frac{\Gamma\!\left(\dfrac{1}{n}\right)}{\Gamma\!\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{2}\right)}.

Passo 6

Juntando tudo e simplificando os fatores:
  • Substituindo I em T da Passo 4:
T=4\sqrt{\frac{m}{2}}\;A^{-1/n}\;E^{\frac{1}{n}-\frac{1}{2}}\;\frac{\sqrt{\pi}}{n}\,\frac{\Gamma\!\left(\dfrac{1}{n}\right)}{\Gamma\!\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{2}\right)}.
  • Simplifique o fator numérico: 4\sqrt{\frac{m}{2}}=\frac{4\sqrt{m}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2m}.
  • Portanto a forma final compacta é
T(E)=\frac{2\sqrt{2\pi m}}{n}\;A^{-1/n}\;\frac{\Gamma\!\left(\dfrac{1}{n}\right)}{\Gamma\!\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{2}\right)}\;E^{\frac{1}{n}-\frac{1}{2}}.

Passo 7

Pequena verificação e comentário didático (ânimo!):
  • Verificação para n=2 (oscilador harmônico com A=\tfrac{k}{2}): substituindo n=2 temos \Gamma(1/2)=\sqrt{\pi} e \Gamma(1)=1, e a potência de E é 1/2-1/2=0 (indica independência de E). A expressão reduz-se a T=2\pi\sqrt{m/k}, que é o período do oscilador harmônico — ótimo sinal de consistência.
  • Interpretação rápida: o expoente de E é \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2}. Para n<2 o período aumenta com E; para n>2 o período diminui com E; para n=2 é independente de E.

Resposta

T(E)=\frac{2\sqrt{2\pi m}}{n}\;A^{-1/n}\;\frac{\Gamma\!\left(\dfrac{1}{n}\right)}{\Gamma\!\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{2}\right)}\;E^{\frac{1}{n}-\frac{1}{2}}.

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