O potencial elétrico devido a uma certa distribuição de cargas é dado pela equação \mathrm{V}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{y}, onde x e y são medidos em metros e V em volts. Em qual ponto o campo elétrico é igual a zero?

Passo 1

O enunciado dá a função potencial elétrico \mathrm{V}(\mathrm{x},\mathrm{y})=\mathrm{y} (com x e y em metros e V em volts) e pergunta: “Em qual ponto o campo elétrico é igual a zero?”
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão do potencial é \mathrm{V}(\mathrm{x},\mathrm{y})=\mathrm{y}.
  • Quer-se o(s) ponto(s) (x,y) para os quais o campo elétrico \mathbf{E} vale o vetor nulo \mathbf{0}.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula que conecta potencial e campo): o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial. Escrevendo isso:
\mathbf{E} = -\nabla V.
Explicando o que é o gradiente: para uma função V(x,y) o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais em cada direção:
\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial x},\; \frac{\partial V}{\partial y}\right).
Aqui \frac{\partial V}{\partial x} significa “derivar V em relação a x mantendo y fixo”, e \frac{\partial V}{\partial y} significa “derivar V em relação a y mantendo x fixo”. Essas derivadas dão a taxa de variação do potencial nas direções x e y.

Passo 3

Aplicar as definições ao nosso potencial \mathrm{V}(x,y)=y. Calculemos as derivadas parciais uma a uma:
  • Derivada em relação a x: como V não depende de x (só de y), a variação de V quando x muda é zero. Portanto
\frac{\partial V}{\partial x}=0.
  • Derivada em relação a y: como V=y, a variação de V quando y varia é 1. Portanto
\frac{\partial V}{\partial y}=1.

Passo 4

Agora formamos o gradiente e o campo usando \mathbf{E}=-\nabla V:
\nabla V=\left(0,\;1\right),
\mathbf{E}(x,y) = -\nabla V = \left(0,\;-1\right).
Para ficar claro com unidades:
\mathbf{E}(x,y)=\left(0,\,-1\right)\\ \mathrm{V/m}.
Isto mostra que o campo é constante (o mesmo em todo o plano) e aponta na direção negativa do eixo y, com magnitude 1\\ \mathrm{V/m}.

Passo 5

Interpretação física e verificação da condição de nulidade: o campo elétrico é o vetor nulo apenas quando ambas as componentes são zero simultaneamente. Aqui temos
E_x=0,\qquad E_y=-1.
Como E_y=-1\neq 0, não existe nenhum par (x,y) que torne \mathbf{E}=(0,0). Então o campo nunca é nulo em nenhum ponto do plano.

Passo 6

Intuição extra (para lembrar na prova): as superfícies (linhas, no caso 2D) equipotenciais são dadas por V= constante, ou seja y= constante — são linhas horizontais. O campo elétrico é sempre perpendicular às equipotenciais e aponta na direção de menor potencial; aqui isso resulta num campo vertical descendente e uniforme. Isso confirma a forma constante \mathbf{E}=(0,-1).

Resposta

Não existe ponto: \mathbf{E}(x,y)=\left(0,-1\right)\\ \mathrm{V/m} em todo o plano, logo o campo nunca é nulo.

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