O potencial elétrico devido a uma certa distribuição de cargas é dado pela equação
, onde x e y são medidos em metros e V em volts. Em qual ponto o campo elétrico é igual a zero?
Passo 1
O enunciado dá a função potencial elétrico
(com
e
em metros e
em volts) e pergunta: “Em qual ponto o campo elétrico é igual a zero?”
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão do potencial é
. - Quer-se o(s) ponto(s)
para os quais o campo elétrico vale o vetor nulo .
Passo 2
Lembrete importante (fórmula que conecta potencial e campo): o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial. Escrevendo isso:
Explicando o que é o gradiente: para uma função
o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais em cada direção:
Aqui
significa “derivar
em relação a
mantendo
fixo”, e
significa “derivar
em relação a
mantendo
fixo”. Essas derivadas dão a taxa de variação do potencial nas direções
e
.
Passo 3
Aplicar as definições ao nosso potencial
. Calculemos as derivadas parciais uma a uma:
- Derivada em relação a
: como não depende de (só de ), a variação de quando muda é zero. Portanto
- Derivada em relação a
: como , a variação de quando varia é . Portanto
Passo 4
Agora formamos o gradiente e o campo usando
:
Para ficar claro com unidades:
Isto mostra que o campo é constante (o mesmo em todo o plano) e aponta na direção negativa do eixo
, com magnitude
.
Passo 5
Interpretação física e verificação da condição de nulidade: o campo elétrico é o vetor nulo apenas quando ambas as componentes são zero simultaneamente. Aqui temos
Como
, não existe nenhum par
que torne
. Então o campo nunca é nulo em nenhum ponto do plano.
Passo 6
Intuição extra (para lembrar na prova): as superfícies (linhas, no caso 2D) equipotenciais são dadas por
constante, ou seja
constante — são linhas horizontais. O campo elétrico é sempre perpendicular às equipotenciais e aponta na direção de menor potencial; aqui isso resulta num campo vertical descendente e uniforme. Isso confirma a forma constante
.
Resposta
Não existe ponto:
em todo o plano, logo o campo nunca é nulo.