Determinar a resposta total de um sistema de 1 GDL sub amortecido com m=10 \mathrm{~kg} e k=4000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, sujeito ao deslocamento inicial x_{0}=0,01 \mathrm{~m} e velocidade inicial \dot{x}_{0}=0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, sob as seguintes condições:
c=200 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m} e Força externa F(t)=100 cos (10 t) \mathrm{N}

Passo 1

O sistema é governado pela equação diferencial
m\,\ddot x + c\,\dot x + k\,x = F_0\cos(\Omega t)
com m=10\:\mathrm{kg}, c=200\:\mathrm{N\,s/m}, k=4000\:\mathrm{N/m}, F_0=100\:\mathrm N, \Omega=10\:\mathrm{rad/s}, e condições iniciais x(0)=0,01\:\mathrm m, \dot x(0)=0.
O objetivo é obter a resposta total x(t)=x_h(t)+x_p(t), onde x_h é a solução homogênea (natural) e x_p é a solução particular (regime permanente forçado).

Passo 2

Calculemos os parâmetros dinâmicos naturais:
\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{4000}{10}} = 20\:\mathrm{rad/s}, \quad \zeta = \frac{c}{2m\omega_n} = \frac{200}{2\cdot10\cdot20} = 0,5,
\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = 20\sqrt{1-0,5^2} = 20\cdot0,8660 = 17,3205\:\mathrm{rad/s}.
Como \zeta<1, a parte homogênea é
x_h(t) = e^{-\zeta\omega_n t}\bigl[B\cos(\omega_d t) + A\sin(\omega_d t)\bigr].

Passo 3

Para o regime forçado assume-se
x_p(t) = X\cos(\Omega t - \varphi).
Os coeficientes vêm de
X = \frac{F_0}{\sqrt{(k - m\Omega^2)^2 + (c\,\Omega)^2}} = \frac{100}{\sqrt{3000^2+2000^2}} =0,02774\:\mathrm m,
\varphi = \arctan\!\Bigl(\frac{c\,\Omega}{k - m\Omega^2}\Bigr) = \arctan\!\Bigl(\frac{2000}{3000}\Bigr) =0,5880\:\mathrm{rad}.

Passo 4

Usamos as iniciais para achar A e B. Primeiro avaliamos
x_p(0)=X\cos\varphi =0,02308\:\mathrm m, \quad \dot x_p(0)=X\,\Omega\,\sin\varphi =0,1539\:\mathrm{m/s}.
Então
x(0)=0,01 = B + x_p(0)\quad\Rightarrow\quad B = 0,01 - 0,02308 = -0,01308,
\dot x(0)=0 = \bigl(-\zeta\omega_n B + A\,\omega_d\bigr) + \dot x_p(0) \quad\Rightarrow\quad A = \frac{\zeta\omega_n\,B - \dot x_p(0)}{\omega_d} = \frac{-0,1308 - 0,1539}{17,3205} = -0,01644.

Passo 5

Reunindo tudo,
x(t) = e^{-10\,t}\Bigl[-0,01308\cos(17,3205\,t)\;-\;0,01644\sin(17,3205\,t)\Bigr] \;+\;0,02774\cos\bigl(10\,t - 0,5880\bigr).

Resposta

\boxed{ x(t) = e^{-10\,t}\bigl[-0,01308\cos(17,3205\,t)-0,01644\sin(17,3205\,t)\bigr] +0,02774\cos\bigl(10\,t-0,5880\bigr). }

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