1. Determinar a reta tangente e a reta normal ao gráfico da função f: R R definida por f(x)=sin (x)+cos (x) no ponto x=pi / 4.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente e a reta normal ao gráfico da função
f(x)=sin(x)+cos(x)
no ponto x0=pi/4. Para isso precisamos de dois elementos: o ponto l(x0,f(x0)r) e o declive da tangente, que é dado por f'(x0). A reta normal tem declive igual a -1/f'(x0), quando este existir.

Passo 2

Calculamos primeiro o valor de f em x0:
fl(pi/4r)=sinl(pi/4r)+cosl(pi/4r) =raiz22+raiz22 =raiz2
Logo o ponto de tangência é l(pi/4,raiz2r).

Passo 3

Derivamos f:
f'(x)=cos(x)-sin(x)
Em x0=pi/4 temos
f'l(pi/4r) =cosl(pi/4r)-sinl(pi/4r) =raiz22-raiz22 =0
Portanto a reta tangente é horizontal.

Passo 4

A equação da reta tangente é
y - f(x0)=f'(x0)l(x - x0r) Longrightarrow y - raiz2 = 0cdotl(x-pi/4r) Longrightarrow y=raiz2

Passo 5

O declive da reta normal seria -1/f'(x0), mas como f'(x0)=0 isso é indefinido, indicando uma reta vertical. Portanto a reta normal é
x=pi/4

Resposta

reta tangente: y=raiz2
reta normal: x=pi/4

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