8.3D Passe para forma cartesiana F(x, y)=0 e esboce o gráfico de cada curva abaixo:
(k) r^2=23 a^2 cos theta

Passo 1

O enunciado pede para converter a curva polar
r^2=23,a^2costheta
para uma forma cartesiana F(x,y)=0 e depois esboçar seu gráfico.
Conteúdo usado: relações entre coordenadas polares e cartesianas
x = rcostheta, y = rsintheta, r^2=x^2+y^2

Passo 2

Expressamos costheta em função de x e r:
costheta = xr
Substituindo em r^2=tfrac23a^2costheta obtemos
r^2 = 23a^2,xr Longrightarrow r^3 = 23a^2,x

Passo 3

Escrevemos r^3 em termos de x e y:
r^3 = (r^2)^3/2 = (x^2+y^2)^3/2,
logo a curva satisfaz
(x^2+y^2)^3/2 = 23a^2,x
Para eliminar o radical, elevamos ao quadrado:
(x^2+y^2)^3 = 49,a^4,x^2

Passo 4

Reescrevemos na forma F(x,y)=0:
F(x,y) ;=;(x^2+y^2)^3 ;-;49,a^4,x^2 ;=;0

Passo 5

Análise geométrica da curva:
  1. Como costheta>=0, temos r^2>=0 só para -tfracpi2<=theta<=tfracpi2, isto é, x>=0.
  2. No ponto theta=0 aparece o ponto mais à direita:
r^2=23a^2Longrightarrow r=araiztfrac23,; y=0,; x=araiztfrac23
  1. Em theta=pmtfracpi2, costheta=0 e r=0, gerando um cusp (ponto de cúspide) na origem. Perto da origem, de r^3=tfrac23a^2x e usando yapprox r, segue xsimtfrac32a^-2y^3: é uma parábola semicúbica com cúspide em (0,0).

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • A curva vive apenas em x>=0.
  • Tem cúspide na origem, é simétrica em relação ao eixo x.
  • Vai de (0,0) sobe até a cúspide e volta a (0,0) descendo, tocando o máximo em l(araiztfrac23,0r).
  • A forma lembra a parábola semicúbica clássica, “abraçada” ao eixo x.

Resposta

F(x,y)=(x^2+y^2)^3-49,a^4,x^2=0,
e o gráfico é uma parábola semicúbica com cúspide em (0,0), simétrica em y, aberta para a direita até l(araiztfrac23,0r).

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