Exercício 3.7.1. Determine a área limitada pelas curvas y=x^2 e y=2, usando elemento de área d y e elemento de área d x. R: 8 raiz23 u a.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela parábola y=x^2 e pela reta y=2. Vamos resolver de duas formas:
– Usando fatias verticais (elemento de área dx), integraremos em x.
– Usando fatias horizontais (elemento de área dy), integraremos em y.
Para ambos é preciso achar os pontos de interseção.

Passo 2

Determinamos a interseção resolvendo
x^2 = 2,
logo
x = pm raiz2
Assim, na integração em x teremos x variando de -raiz2 a raiz2.

Passo 3

Usando elemento dx, a altura de cada fatia é ysup-yinf=2 - x^2. Logo a área é
A = integralx=-raiz2^raiz2 l(2 - x^2r),dx
Calculando as primitivas,
integral (2 - x^2),dx = 2x - x^33,
e avaliando de -raiz2 a raiz2:

Passo 4

Para x=raiz2:
2raiz2 - (raiz2)^33 =2raiz2 - 2raiz23 =6raiz2-2raiz23 =4raiz23
Para x=-raiz2:
2(-raiz2) - (-raiz2)^33 =-2raiz2 + 2raiz23 =-6raiz2+2raiz23 =-4raiz23
Subtraindo,
A = 4raiz23 - l(-4raiz23r) =8raiz23

Passo 5

Usando elemento dy, para um dado y a abscissa x varia de -raizy a raizy, então a largura da fatia é 2raizy. Como y vai de 0 a 2,
A = integraly=0^2 2raizy,dy =2integral0^2 y^1/2,dy
A primitiva de y^1/2 é tfrac23y^3/2, logo
A =2cdot23 l[y^3/2r]0^2 =43l(2^3/2-0r) =43cdot2raiz2 =8raiz23

Resposta

8raiz23 unidades de área.

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