7- Determinar a secção de choque para uma ‘queda’ de partículas no centro de um campo
.
Passo 1
O enunciado dá a energia potencial central
e pede a secção de choque (classe clássica) para captura (queda) de partículas no centro. Vou assumir partículas de massa
que chegam do infinito com velocidade inicial
(energia cinética por partícula
) e com parâmetro de impacto
.
O objetivo concreto: achar o raio crítico tal que partículas com
caem no centro, e então a secção de choque de captura
O objetivo concreto: achar o raio crítico
Informações relevantes dadas / assumidas:
- Potencial:
com . - Energia total (para uma partícula que vem do infinito):
. - Momento angular relativo (conservado):
. - Condição de captura: a energia
deve ser maior que o máximo da energia efetiva radial ; o caso limite determina .
Passo 2
Conservação de energia e momento angular (ideias que vamos usar).
- Energia total (radial + efetiva) pode ser escrita como
onde a energia efetiva é
Aqui:
-
é o momento angular relativo, . - A primeira parcela é a barreira centrífuga e a segunda é o potencial atrativo.
Explicação didática breve: o termo
atua como uma barreira que impede a partícula de chegar arbitrariamente perto se
for grande. Para que a partícula alcance
(caia no centro) é necessário que, ao longo do movimento radial, se tenha
para todos os
, isto é,
para todo
. Assim, a condição crítica é
(o pico da barreira centrífuga): se
for menor que o pico, há reflexão; se maior, a partícula passa por cima do pico e cai.
Passo 3
Encontrar a posição
do máximo de
resolvendo
.
Calcule
Impondo zero:
Multiplicando por
obtemos
Logo
Comentário: esta equação dá a posição
(função de
) onde a barreira efetiva tem extremo. Como
, o expoente
e a solução é física e positiva.
Passo 4
Avaliar o valor máximo
. Usamos uma simplificação conveniente: da equação estacionária, multiplicando por
(ou simplesmente reescrevendo) obtemos
Então a parcela centrífuga no ponto
é
Portanto
Explicando: usamos a relação entre centrífuga e termo do potencial no ponto extremo para cancelar potências e obter uma expressão muito simples para o pico da barreira.
Passo 5
Expressar
em termos das quantidades iniciais
e
. Lembrando
e
, temos
Substituindo em
(ver Passo 3) obtemos
Portanto
Passo 6
Substituir isso em
(Passo 4) e impor a condição limite de captura
para determinar
.
Temos
Impondo
:
Passo 7
Resolver a equação do passo anterior para
. Denote
A equação fica
Isolando
:
Retornando a
usando
:
Logo
Explicando o passo algébrico: fizeram-se operações de potência e isolamento; importante é combinar as potências de
e
com cuidado — ao final o comportamento dimensional confere:
tem dimensão
, elevado a
dá
, então
tem dimensão
como deve ser.
Passo 8
Obter o parâmetro crítico
e a secção de choque de captura
.
Da expressão de
acima:
A secção de choque (área) de captura é
Passo 9
Expressão alternativa em termos da velocidade inicial
. Como
, pode-se escrever
Pequena motivação física final: a secção de captura decresce com a energia (ou com
) como uma potência, e depende da intensidade
do potencial e do expoente
. Para
existe sempre uma barreira centrífuga e, portanto, um
finito; para
o comportamento muda (casos degenerados).