7- Determinar a secção de choque para uma ‘queda’ de partículas no centro de um campo U=-a / r^{n}(n>2, a>0).

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial central
U(r)=-\frac{a}{r^{n}},\qquad n>2,\\ a>0,
e pede a secção de choque (classe clássica) para captura (queda) de partículas no centro. Vou assumir partículas de massa m que chegam do infinito com velocidade inicial v (energia cinética por partícula E=\tfrac{1}{2}m v^{2}) e com parâmetro de impacto b.
O objetivo concreto: achar o raio crítico b_{c} tal que partículas com b<b_{c} caem no centro, e então a secção de choque de captura
\sigma=\pi b_{c}^{2}.
Informações relevantes dadas / assumidas:
  • Potencial: U(r)=-a/r^{n} com n>2.
  • Energia total (para uma partícula que vem do infinito): E=\tfrac{1}{2}m v^{2}>0.
  • Momento angular relativo (conservado): L=m v b.
  • Condição de captura: a energia E deve ser maior que o máximo da energia efetiva radial U_{\mathrm{eff}}(r); o caso limite E=U_{\mathrm{eff},\max} determina b_{c}.

Passo 2

Conservação de energia e momento angular (ideias que vamos usar).
  • Energia total (radial + efetiva) pode ser escrita como
E=\frac{1}{2}m\dot r^{2}+U_{\mathrm{eff}}(r),
onde a energia efetiva é
U_{\mathrm{eff}}(r)=\frac{L^{2}}{2m r^{2}}-\frac{a}{r^{n}}.
Aqui:
  • L é o momento angular relativo, L=m v b.
  • A primeira parcela é a barreira centrífuga e a segunda é o potencial atrativo.
Explicação didática breve: o termo \dfrac{L^{2}}{2m r^{2}} atua como uma barreira que impede a partícula de chegar arbitrariamente perto se L for grande. Para que a partícula alcance r=0 (caia no centro) é necessário que, ao longo do movimento radial, se tenha \tfrac{1}{2}m\dot r^{2}\ge 0 para todos os r>0, isto é, E\ge U_{\mathrm{eff}}(r) para todo r>0. Assim, a condição crítica é E=U_{\mathrm{eff},\max} (o pico da barreira centrífuga): se E for menor que o pico, há reflexão; se maior, a partícula passa por cima do pico e cai.

Passo 3

Encontrar a posição r_{0} do máximo de U_{\mathrm{eff}}(r) resolvendo dU_{\mathrm{eff}}/dr=0.
Calcule
\frac{dU_{\mathrm{eff}}}{dr}=-\frac{L^{2}}{m r^{3}}+ \frac{n a}{r^{n+1}}.
Impondo zero:
-\frac{L^{2}}{m r_{0}^{3}}+\frac{n a}{r_{0}^{n+1}}=0.
Multiplicando por r_{0}^{n+1} obtemos
\frac{L^{2}}{m}\,r_{0}^{\,n-2}=n a.
Logo
r_{0}^{\,n-2}=\frac{n a}{L^{2}/m}=\frac{n a m}{L^{2}}.
Comentário: esta equação dá a posição r_{0} (função de L) onde a barreira efetiva tem extremo. Como n>2, o expoente n-2>0 e a solução é física e positiva.

Passo 4

Avaliar o valor máximo U_{\mathrm{eff}}(r_{0}). Usamos uma simplificação conveniente: da equação estacionária, multiplicando por r_{0} (ou simplesmente reescrevendo) obtemos
\frac{L^{2}}{m r_{0}^{2}}=\frac{n a}{r_{0}^{n}}.
Então a parcela centrífuga no ponto r_{0} é
\frac{L^{2}}{2m r_{0}^{2}}=\frac{n a}{2 r_{0}^{n}}.
Portanto
U_{\mathrm{eff}}(r_{0})=\frac{L^{2}}{2m r_{0}^{2}}-\frac{a}{r_{0}^{n}} =\frac{n a}{2 r_{0}^{n}}-\frac{a}{r_{0}^{n}} =\frac{n-2}{2}\,\frac{a}{r_{0}^{n}}.
Explicando: usamos a relação entre centrífuga e termo do potencial no ponto extremo para cancelar potências e obter uma expressão muito simples para o pico da barreira.

Passo 5

Expressar r_{0} em termos das quantidades iniciais E e b. Lembrando L=m v b e E=\tfrac{1}{2}m v^{2}, temos
L^{2}=m^{2}v^{2}b^{2}=2m E b^{2}.
Substituindo em r_{0}^{\,n-2}=\dfrac{n a m}{L^{2}} (ver Passo 3) obtemos
r_{0}^{\,n-2}=\frac{n a m}{2 m E b^{2}}=\frac{n a}{2 E b^{2}}.
Portanto
\frac{1}{r_{0}^{n}}=\left(r_{0}^{\,n-2}\right)^{-\,\frac{n}{\,n-2}} =\left(\frac{n a}{2 E b^{2}}\right)^{-\,\frac{n}{\,n-2}}.

Passo 6

Substituir isso em U_{\mathrm{eff}}(r_{0}) (Passo 4) e impor a condição limite de captura E=U_{\mathrm{eff}}(r_{0}) para determinar b_{c}.
Temos
U_{\mathrm{eff}}(r_{0})=\frac{n-2}{2}\,a\cdot\frac{1}{r_{0}^{n}} =\frac{n-2}{2}\,a\left(\frac{n a}{2 E b^{2}}\right)^{-\,\frac{n}{\,n-2}}.
Impondo E=U_{\mathrm{eff}}(r_{0}):
E=\frac{n-2}{2}\,a\left(\frac{n a}{2 E b^{2}}\right)^{-\,\frac{n}{\,n-2}}.

Passo 7

Resolver a equação do passo anterior para b^{2}. Denote
W\equiv\frac{n a}{2 E b^{2}}.
A equação fica
E=\frac{n-2}{2}\,a\,W^{-\,\frac{n}{\,n-2}}.
Isolando W:
W=\left(\frac{a(n-2)}{2E}\right)^{\frac{n-2}{n}}.
Retornando a b^{2} usando W=\dfrac{n a}{2 E b^{2}}:
\frac{n a}{2 E b^{2}}=\left(\frac{a(n-2)}{2E}\right)^{\frac{n-2}{n}}.
Logo
b^{2}=\frac{n a}{2 E}\left(\frac{a(n-2)}{2E}\right)^{-\frac{n-2}{n}} =\;n\left(\frac{a}{2E}\right)^{\frac{2}{n}}\!(n-2)^{-\frac{n-2}{n}}.
Explicando o passo algébrico: fizeram-se operações de potência e isolamento; importante é combinar as potências de a e E com cuidado — ao final o comportamento dimensional confere: a/(2E) tem dimensão L^{n}, elevado a 2/n L^{2}, então b^{2} tem dimensão L^{2} como deve ser.

Passo 8

Obter o parâmetro crítico b_{c} e a secção de choque de captura \sigma.
Da expressão de b^{2} acima:
b_{c}=\sqrt{n}\,\left(\frac{a}{2E}\right)^{\!1/n}\,(n-2)^{-\frac{n-2}{2n}}.
A secção de choque (área) de captura é
\sigma=\pi b_{c}^{2} =\pi\,n\left(\frac{a}{2E}\right)^{\!2/n}\!(n-2)^{-\frac{n-2}{n}}.

Passo 9

Expressão alternativa em termos da velocidade inicial v. Como 2E=m v^{2}, pode-se escrever
b_{c}=\sqrt{n}\,\left(\frac{a}{m v^{2}}\right)^{\!1/n}\!(n-2)^{-\frac{n-2}{2n}},
\sigma=\pi n\left(\frac{a}{m v^{2}}\right)^{\!2/n}\!(n-2)^{-\frac{n-2}{n}}.
Pequena motivação física final: a secção de captura decresce com a energia (ou com v) como uma potência, e depende da intensidade a do potencial e do expoente n. Para n>2 existe sempre uma barreira centrífuga e, portanto, um b_{c} finito; para n\le 2 o comportamento muda (casos degenerados).

Resposta

\sigma=\pi\,n\left(\frac{a}{2E}\right)^{\!2/n}\!(n-2)^{-\frac{n-2}{n}}
\text{(equivalente)}\qquad \sigma=\pi\,n\left(\frac{a}{m v^{2}}\right)^{\!2/n}\!(n-2)^{-\frac{n-2}{n}}

Exercícios relacionados