Um espelho côncavo produz uma imagem real e invertida três vezes maior do que o objeto e a uma distância de 28 cm dele. Qual o aumento linear da imagem quando o objeto está a 5,25 \mathrm{~cm} do vértice do espelho?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que vem a seguir.
  • Dados fornecidos:
    • A imagem é real e invertida e tem três vezes o tamanho do objeto. Ou seja, o aumento linear tem magnitude 3 e, por ser invertida, tem sinal negativo.
    • A distância entre o objeto e a imagem é 28\\ \mathrm{cm} (o enunciado diz “a uma distância de 28 cm dele”, ou seja, objeto e imagem estão separados por 28\\ \mathrm{cm}).
    • Depois, pergunta: qual o aumento linear da imagem quando o objeto está a 5{,}25\\ \mathrm{cm} do vértice do espelho?
  • O que é pedido:
    • Determinar o aumento linear (valor algébrico de m) da imagem quando o objeto fica a 5{,}25\\ \mathrm{cm} do vértice.

Passo 2

Definir variáveis e fórmulas que vamos usar (explicando cada coisa passo a passo).
  • Denotar por \,u a distância do objeto ao vértice do espelho (positiva quando o objeto está na frente do espelho).
  • Denotar por \,v a distância da imagem ao vértice do espelho (positiva quando a imagem é real e está na frente do espelho).
  • Denotar por \,f o foco do espelho (positiva para espelho côncavo).
  • A relação geométrica fundamental (fórmula dos espelhos) é
\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}.
Explicação: essa fórmula relaciona as distâncias do objeto e da imagem ao espelho com a posição do foco; é derivada da geometria dos raios refletidos em um espelho esférico (não vou derivar a rigor aqui, mas é uma fórmula padrão que se usa em provas).
  • O aumento linear (relação entre tamanho da imagem h' e do objeto h) é dado por
m=\frac{h'}{h}=-\frac{v}{u}.
Explicação: o sinal negativo indica que se m for negativo a imagem é invertida. O módulo |m| é a razão entre os tamanhos.

Passo 3

Usar os dados iniciais para encontrar u, v e f.
  • O enunciado diz que a imagem é real e invertida três vezes maior que o objeto. Logo o aumento algébrico é
m=-3.
  • Pela fórmula do aumento,
m=-\frac{v}{u}=-3 \quad\Rightarrow\quad \frac{v}{u}=3 \quad\Rightarrow\quad v=3u.
Explicação: como a imagem é real e invertida, v e u têm sinais que fazem m negativo; trabalhando com valores positivos de distância na frente do espelho, o fator v=3u dá a razão de posições.
  • A distância entre o objeto e a imagem é 28\\ \mathrm{cm}. Essa distância é u+v (ambos medidos a partir do vértice na mesma direção), então
u+v=28\\ \mathrm{cm}.
  • Substituindo v=3u nessa equação:
u+3u=28\\ \mathrm{cm}\quad\Rightarrow\quad 4u=28\\ \mathrm{cm}\quad\Rightarrow\quad u=7\\ \mathrm{cm}.
  • Então
v=3u=3\cdot7\\ \mathrm{cm}=21\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Calcular o foco f do espelho usando a fórmula dos espelhos.
  • Aplicando
\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{7}+\frac{1}{21}\quad(\text{em cm}^{-1}).
  • Calcular a soma:
\frac{1}{7}+\frac{1}{21}=\frac{3}{21}+\frac{1}{21}=\frac{4}{21}.
  • Assim
\frac{1}{f}=\frac{4}{21}\quad\Rightarrow\quad f=\frac{21}{4}\\ \mathrm{cm}=5{,}25\\ \mathrm{cm}.
Observação: portanto o foco do espelho é 5{,}25\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Agora respondemos à pergunta: qual o aumento linear quando o objeto está a 5{,}25\\ \mathrm{cm} do vértice?
  • O novo objeto é colocado a u=5{,}25\\ \mathrm{cm}. Perceba que esse valor é exatamente o foco f que acabamos de calcular: u=f.
  • Usando a fórmula dos espelhos,
\frac{1}{v}=\frac{1}{f}-\frac{1}{u}.
Substituindo u=f
\frac{1}{v}=\frac{1}{f}-\frac{1}{f}=0.
  • Isso significa que v\to\infty: a imagem forma-se no infinito (os raios refletidos saem paralelos e não se encontram a uma distância finita).
  • O aumento é
m=-\frac{v}{u}.
Com v\to\infty e u=f finito, tem-se |m|\to\infty. Em palavras: o aumento linear tende ao infinito — não existe um aumento finito porque a imagem está no infinito (imagem extremamente grande e não localizada a uma distância finita).

Resposta

O aumento linear é infinito (imagem no infinito).

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