Um espelho côncavo produz uma imagem real e invertida três vezes maior do que o objeto e a uma distância de 28 cm dele. Qual o aumento linear da imagem quando o objeto está a
do vértice do espelho?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que vem a seguir.
-
Dados fornecidos:
- A imagem é real e invertida e tem três vezes o tamanho do objeto. Ou seja, o aumento linear tem magnitude
e, por ser invertida, tem sinal negativo. - A distância entre o objeto e a imagem é
(o enunciado diz “a uma distância de 28 cm dele”, ou seja, objeto e imagem estão separados por ). - Depois, pergunta: qual o aumento linear da imagem quando o objeto está a
do vértice do espelho?
- A imagem é real e invertida e tem três vezes o tamanho do objeto. Ou seja, o aumento linear tem magnitude
-
O que é pedido:
- Determinar o aumento linear (valor algébrico de
) da imagem quando o objeto fica a do vértice.
- Determinar o aumento linear (valor algébrico de
Passo 2
Definir variáveis e fórmulas que vamos usar (explicando cada coisa passo a passo).
- Denotar por
a distância do objeto ao vértice do espelho (positiva quando o objeto está na frente do espelho). - Denotar por
a distância da imagem ao vértice do espelho (positiva quando a imagem é real e está na frente do espelho). - Denotar por
o foco do espelho (positiva para espelho côncavo). - A relação geométrica fundamental (fórmula dos espelhos) é
Explicação: essa fórmula relaciona as distâncias do objeto e da imagem ao espelho com a posição do foco; é derivada da geometria dos raios refletidos em um espelho esférico (não vou derivar a rigor aqui, mas é uma fórmula padrão que se usa em provas).
- O aumento linear (relação entre tamanho da imagem
e do objeto ) é dado por
Explicação: o sinal negativo indica que se
for negativo a imagem é invertida. O módulo
é a razão entre os tamanhos.
Passo 3
Usar os dados iniciais para encontrar
,
e
.
- O enunciado diz que a imagem é real e invertida três vezes maior que o objeto. Logo o aumento algébrico é
- Pela fórmula do aumento,
Explicação: como a imagem é real e invertida,
e
têm sinais que fazem
negativo; trabalhando com valores positivos de distância na frente do espelho, o fator
dá a razão de posições.
- A distância entre o objeto e a imagem é
. Essa distância é (ambos medidos a partir do vértice na mesma direção), então
- Substituindo
nessa equação:
- Então
Passo 4
Calcular o foco
do espelho usando a fórmula dos espelhos.
- Aplicando
- Calcular a soma:
- Assim
Observação: portanto o foco do espelho é
.
Passo 5
Agora respondemos à pergunta: qual o aumento linear quando o objeto está a
do vértice?
- O novo objeto é colocado a
. Perceba que esse valor é exatamente o foco que acabamos de calcular: . - Usando a fórmula dos espelhos,
Substituindo
dá
- Isso significa que
: a imagem forma-se no infinito (os raios refletidos saem paralelos e não se encontram a uma distância finita). - O aumento é
Com
e
finito, tem-se
. Em palavras: o aumento linear tende ao infinito — não existe um aumento finito porque a imagem está no infinito (imagem extremamente grande e não localizada a uma distância finita).
Resposta
O aumento linear é infinito (imagem no infinito).