Determinar se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique adequadamente.
No espaço, a superfície de coordenadas cartesianas 2 y+4 z=1, em coordenadas esféricas ela é descrita pela equação r(2 sin varphi sin theta+4 cos varphi)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a afirmação sobre a descrição de uma superfície no espaço usando coordenadas cartesianas e esféricas é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar entender as duas formas de coordenadas e como converter de uma para a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas cartesianas e coordenadas esféricas. Nas coordenadas cartesianas, usamos os eixos x, y e z para localizar pontos no espaço. Já nas coordenadas esféricas, usamos três parâmetros: x = r sin varphi cos theta (distância do ponto até a origem), y = r sin varphi sin theta (ângulo no plano xy a partir do eixo x) e z = r cos varphi (ângulo a partir do eixo z).
Para converter uma equação de coordenadas cartesianas para esféricas, usamos as seguintes relações:

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação dada em coordenadas cartesianas: 2y + 4z = 2(r sin varphi sin theta) + 4(r cos varphi) . Nosso objetivo é reescrever essa equação em termos de coordenadas esféricas usando as relações que mencionei.
Substituindo 2r sin varphi sin theta + 4r cos varphi = 1 e r(2 sin varphi sin theta + 4 cos varphi) = 1 pelas expressões em coordenadas esféricas, temos:
Simplificando:
Podemos fatorar o :

Passo 4

Comparando a equação que encontramos com a que foi dada no enunciado:
r(2 sin varphi sin theta + 4 cos varphi) = 1
Vemos que elas são exatamente iguais.

Resposta

Verdadeira. A equação da superfície em coordenadas cartesianas é corretamente descrita em coordenadas esféricas por .

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