Uma elipse tem centro na origem, semi-eixo maior sobre o eixo
de comprimento
. Se sua corda principal tem comprimento
, então a equação dessa elipse é?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre uma elipse com algumas características específicas: o centro está na origem, o semi-eixo maior está no eixo
com comprimento
, e uma corda principal com comprimento
. Nosso objetivo é encontrar a equação dessa elipse. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre a equação geral da elipse e propriedades das cordas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação padrão de uma elipse com centro na origem e semi-eixo maior no eixo
. A forma geral é:
Aqui,
é o comprimento do semi-eixo maior e
é o comprimento do semi-eixo menor. No nosso caso,
, então já temos parte da equação.
Passo 3
Agora, precisamos descobrir o valor de
. Para isso, vamos usar a informação sobre a corda principal. A corda principal em uma elipse é uma linha que passa por um dos focos e é perpendicular ao eixo maior. O comprimento dessa corda é dado pela fórmula:
Sabemos que
e
, então podemos substituir esses valores na fórmula para encontrar
.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula da corda principal:
Vamos resolver essa equação para encontrar
:
Passo 5
Agora que temos
, podemos substituir
e
na equação padrão da elipse:
Calculando
:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na equação da elipse:
Resposta
A equação da elipse é: