(|ta 2011) Dado
, então
é igual a:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número complexo
e precisamos calcular a soma das potências desse número de
até
, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de progressão geométrica, que é uma sequência onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. No nosso caso, a razão é o próprio número
. Vamos precisar conhecer a fórmula da soma de uma progressão geométrica para resolver essa soma.
Passo 2
A fórmula da soma de uma progressão geométrica finita é:
onde:
-
é a soma das potências, -
é a razão da progressão geométrica, -
é o número de termos.
No nosso caso,
, então substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos analisar o número
. Observando
, percebemos que ele é um número complexo da unidade, ou seja,
. Além disso, esse número é uma das raízes cúbicas da unidade, o que significa que:
Isso é importante porque vai simplificar nossos cálculos.
Passo 4
Como
, podemos simplificar
.
Dividindo 50 por 3, temos:
Então,
Passo 5
Agora, substituímos
por
na fórmula da soma:
Vamos simplificar a expressão
. Isso pode ser feito fatorando o numerador:
Então,
Portanto, a soma fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular
.
Sabemos que:
Calculando
:
Então,