Seja V um espaço vetorial. Determinar o valor-verdade de cada afirmação abaixo.
(b) O conjunto vazio é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto vazio \emptyset é um subespaço vetorial de um espaço vetorial V. O conteúdo envolvido é a definição de subespaço vetorial, que exige certas propriedades em relação ao zero e à fechadura sob operações.

Passo 2

Lembrando a definição: um subconjunto W\subseteq V é subespaço vetorial se, e somente se,
\begin{aligned} &(i)\quad \mathbf{0}\in W,\\\ &(ii)\quad\text{para todo }u,v\in W,\;u+v\in W,\\\ &(iii)\quad\text{para todo escalar }\alpha\text{ e todo }u\in W,\;\alpha u\in W. \end{aligned}

Passo 3

No caso de W=\emptyset, não existe nenhum elemento em \emptyset. Em particular, o vetor nulo \mathbf{0} não pertence a \emptyset. Assim, falha imediatamente a condição (i) da definição de subespaço.

Resposta

A afirmação é falsa.

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