Determinar as seguintes integrais indefinidas:
Usando o método da substituição, determinar as seguintes integrais:
Usando o método da substituição, determinar as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para determinar, usando o método da substituição, a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
, a variável de integração é
e o método exigido é a substituição. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) desta função, ou seja, uma função
tal que
.
Passo 2
Ideia do método da substituição (explicação didática): quando temos uma função composta
, é útil definir
para transformar a integral em uma forma mais simples. Formalmente, se fizermos
e
, então
Isto é só a “inversão” da regra da cadeia da diferenciação: a derivada de
é
, então a primitiva de
é
. Vou aplicar isso passo a passo ao nosso caso.
Passo 3
Escolhemos a substituição apropriada para a parte interna da composição:
Agora calculamos
em termos de
. Diferenciando,
Expliquei por que escolhi
: porque o argumento da função seno é exatamente essa expressão.
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Agora integramos
. Como já comentei, a primitiva de
é
, porque
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltamos à variável original
substituindo
:
Pronto — essa é a primitiva procurada.
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando o resultado obtemos a integranda original:
A conta confere.
Passo 8
Dica prática para a prova: quando você tiver
, a primitiva é
No nosso caso
, então o fator
vira
, confirmando o resultado acima.