Determinar as seguintes integrais indefinidas:
Usando o método da substituição, determinar as seguintes integrais:
\int \operatorname{sen} \frac{y}{3} d y

Passo 1

O enunciado pede para determinar, usando o método da substituição, a integral indefinida
\int \operatorname{sen}\!\left(\frac{y}{3}\right)\,dy.
Informações dadas: a função a integrar é \operatorname{sen}\!\left(\frac{y}{3}\right), a variável de integração é y e o método exigido é a substituição. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) desta função, ou seja, uma função F(y) tal que F'(y)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{y}{3}\right).

Passo 2

Ideia do método da substituição (explicação didática): quando temos uma função composta \operatorname{sen}(g(y)), é útil definir u=g(y) para transformar a integral em uma forma mais simples. Formalmente, se fizermos \,u=g(y) e \,du=g'(y)\,dy, então
\int \operatorname{sen}(g(y))\,g'(y)\,dy = \int \operatorname{sen}(u)\,du.
Isto é só a “inversão” da regra da cadeia da diferenciação: a derivada de \cos(u) é -\operatorname{sen}(u), então a primitiva de \operatorname{sen}(u) é -\cos(u). Vou aplicar isso passo a passo ao nosso caso.

Passo 3

Escolhemos a substituição apropriada para a parte interna da composição:
u=\frac{y}{3}.
Agora calculamos du em termos de dy. Diferenciando,
du=\frac{1}{3}\,dy \quad\Rightarrow\quad dy=3\,du.
Expliquei por que escolhi u=\frac{y}{3}: porque o argumento da função seno é exatamente essa expressão.

Passo 4

Substituímos u e dy na integral original:
\int \operatorname{sen}\!\left(\frac{y}{3}\right)\,dy = \int \operatorname{sen}(u)\,(3\,du) = 3\int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 5

Agora integramos \operatorname{sen}(u). Como já comentei, a primitiva de \operatorname{sen}(u) é -\cos(u), porque
\frac{d}{du}\bigl(-\cos(u)\bigr)=\operatorname{sen}(u).
Portanto
3\int \operatorname{sen}(u)\,du = 3\bigl(-\cos(u)\bigr)+C = -3\cos(u)+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltamos à variável original y substituindo u=\dfrac{y}{3}:
-3\cos(u)+C = -3\cos\!\left(\frac{y}{3}\right)+C.
Pronto — essa é a primitiva procurada.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando o resultado obtemos a integranda original:
\frac{d}{dy}\left[-3\cos\!\left(\frac{y}{3}\right)\right] = -3\cdot\bigl(-\operatorname{sen}\!\left(\frac{y}{3}\right)\bigr)\cdot\frac{1}{3} = \operatorname{sen}\!\left(\frac{y}{3}\right).
A conta confere.

Passo 8

Dica prática para a prova: quando você tiver \int \operatorname{sen}(a y)\,dy, a primitiva é
-\frac{1}{a}\cos(a y)+C.
No nosso caso a=\dfrac{1}{3}, então o fator -\dfrac{1}{a} vira -3, confirmando o resultado acima.

Resposta

-3\cos\!\left(\dfrac{y}{3}\right)+C

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