Determinar as seguintes integrais indefinidas:
Usando o método da substituição, determinar as seguintes integrais:
\int \frac{5 x^{4}}{1+x^{5}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo, usando o método da substituição:
\int \frac{5 x^{4}}{1+x^{5}}\,dx
Informações dadas e o que se pede:
  • A função a integrar é \dfrac{5 x^{4}}{1+x^{5}}.
  • A variável de integração é x.
  • Foi especificado usar o método da substituição.
  • Queremos uma primitiva (uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{5 x^{4}}{1+x^{5}}) mais uma constante de integração.

Passo 2

Motivação da substituição (a ideia por trás do método):
  • Na substituição, buscamos uma nova variável u que torne a integral mais simples.
  • Uma pista clássica: quando a integral tem uma função composta \dfrac{f'(x)}{f(x)} (ou um múltiplo disso), a primitiva costuma ser \ln|f(x)|.
  • Aqui note que o denominador é 1+x^{5}. Vamos checar a derivada disso: \text{se } u = 1+x^{5}\quad\text{então}\quad \frac{du}{dx} = 5x^{4}.ã
  • Essa igualdade mostra que 5x^{4}\,dx é exatamente du. Isso é perfeito para a substituição: o numerador da integral é 5x^{4}\,dx.

Passo 3

Fazer a substituição explicitamente:
  • Definimos u = 1+x^{5}.
  • Diferenciando, obtemos du = 5x^{4}\,dx.
  • Portanto a integral original se transforma em uma integral em u: \int \frac{5 x^{4}}{1+x^{5}}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du.(a troca está correta porque substituímos 1+x^{5} por u e 5x^{4}\,dx por du).

Passo 4

Calcular a integral em u:
  • Conhecimento básico: a primitiva de \dfrac{1}{u} é o logaritmo natural. Mais precisamente, \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C,onde C é a constante de integração.
  • Observação sobre o valor absoluto: usamos |u| porque o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos; como uma primitiva deve funcionar para todas as x onde faz sentido, colocamos o valor absoluto.

Passo 5

Voltar para a variável original x:
  • Substituímos u = 1+x^{5} de volta na primitiva: \int \frac{5 x^{4}}{1+x^{5}}\,dx = \ln\big|1+x^{5}\big| + C.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (confirmação do resultado):
  • Diferenciando \ln\big|1+x^{5}\big| usando a regra da cadeia: \frac{d}{dx}\ln\big|1+x^{5}\big| = \frac{1}{1+x^{5}}\cdot \frac{d}{dx}(1+x^{5}) = \frac{1}{1+x^{5}}\cdot 5x^{4} = \frac{5x^{4}}{1+x^{5}},que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Dica prática para a prova (amigo falando contigo):
  • Sempre que vir uma integral do tipo \dfrac{f'(x)}{f(x)} ou algo próximo (até um constante multiplicativa), pense em \ln|f(x)|.
  • Treino rápido: \int \dfrac{2x}{1+x^{2}}\,dx = \ln|1+x^{2}|+C. Viu como é a mesma ideia?

Resposta

\ln\big|1+x^{5}\big|+C

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