Determinar as seguintes integrais indefinidas:
Usando o método da substituição, determinar as seguintes integrais:
Usando o método da substituição, determinar as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo, usando o método da substituição:
Informações dadas e o que se pede:
- A função a integrar é
. - A variável de integração é
. - Foi especificado usar o método da substituição.
- Queremos uma primitiva (uma expressão
tal que ) mais uma constante de integração.
Passo 2
Motivação da substituição (a ideia por trás do método):
- Na substituição, buscamos uma nova variável
que torne a integral mais simples. - Uma pista clássica: quando a integral tem uma função composta
(ou um múltiplo disso), a primitiva costuma ser . - Aqui note que o denominador é
. Vamos checar a derivada disso: - Essa igualdade mostra que
é exatamente . Isso é perfeito para a substituição: o numerador da integral é .
Passo 3
Fazer a substituição explicitamente:
- Definimos
- Diferenciando, obtemos
- Portanto a integral original se transforma em uma integral em
: (a troca está correta porque substituímos por e por ).
Passo 4
Calcular a integral em
:
- Conhecimento básico: a primitiva de
é o logaritmo natural. Mais precisamente, onde é a constante de integração. - Observação sobre o valor absoluto: usamos
porque o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos; como uma primitiva deve funcionar para todas as onde faz sentido, colocamos o valor absoluto.
Passo 5
Voltar para a variável original
:
- Substituímos
de volta na primitiva:
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (confirmação do resultado):
- Diferenciando
usando a regra da cadeia: que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Dica prática para a prova (amigo falando contigo):
- Sempre que vir uma integral do tipo
ou algo próximo (até um constante multiplicativa), pense em . - Treino rápido:
. Viu como é a mesma ideia?