Determinar as seguintes integrais indefinidas:
\int \frac{1}{3 x}-4 \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada. Mais precisamente, queremos encontrar uma primitiva de
\frac{1}{3x}-4\cos x.
Informações relevantes:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é a soma (ou diferença) de dois termos: \frac{1}{3x} e -4\cos x.
  • x não pode ser 0 na expressão 1/(3x), portanto a primitiva será válida para x\neq0.
  • O objetivo é fornecer uma função F(x) tal que F'(x)=\frac{1}{3x}-4\cos x.

Passo 2

Uma regra básica de integrais que vamos usar é a linearidade:
\int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx,
e a regra do fator constante:
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx,
onde a é constante. Essas regras nos permitem separar a integral em partes mais simples e puxar constantes para fora da integral.

Passo 3

Aplicando a linearidade ao nosso integrando, escrevemos
\int\left(\frac{1}{3x}-4\cos x\right)dx = \int \frac{1}{3x}\,dx - \int 4\cos x\,dx.

Passo 4

Agora usamos a propriedade do fator constante para tirar as constantes fora das integrais:
\int \frac{1}{3x}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{1}{x}\,dx,
\int 4\cos x\,dx = 4\int \cos x\,dx.
Portanto
\int\left(\frac{1}{3x}-4\cos x\right)dx = \frac{1}{3}\int \frac{1}{x}\,dx - 4\int \cos x\,dx.

Passo 5

Conhecemos as primitivas básicas:
  • A primitiva de 1/x é \ln|x|. Ou seja,
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
Explicação breve: a derivada de \ln|x| é 1/x para x\neq0, por isso usamos o valor absoluto dentro do logaritmo para cobrir x>0 e x<0.
  • A primitiva de \cos x é \sin x. Ou seja,
\int \cos x\,dx = \sin x + C,
pois \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.

Passo 6

Aplicando essas primitivas às nossas parcelas:
\frac{1}{3}\int \frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{3}\ln|x|,
4\int \cos x\,dx = 4\sin x.
Lembre-se de que cada integral indefinida tem uma constante de integração; ao combinar os resultados finais usamos uma única constante C.

Passo 7

Juntando tudo:
\int\left(\frac{1}{3x}-4\cos x\right)dx = \frac{1}{3}\ln|x| - 4\sin x + C.
Verificação rápida (derivando o resultado): \dfrac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{3}\ln|x| - 4\sin x\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x}-4\cos x=\frac{1}{3x}-4\cos x, que é o integrando original.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\ln|x|-4\sin x+C

Exercícios relacionados