Determinar as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada. Mais precisamente, queremos encontrar uma primitiva de
Informações relevantes:
- A variável de integração é
. - O integrando é a soma (ou diferença) de dois termos:
e . -
não pode ser na expressão , portanto a primitiva será válida para . - O objetivo é fornecer uma função
tal que .
Passo 2
Uma regra básica de integrais que vamos usar é a linearidade:
e a regra do fator constante:
onde
é constante. Essas regras nos permitem separar a integral em partes mais simples e puxar constantes para fora da integral.
Passo 3
Aplicando a linearidade ao nosso integrando, escrevemos
Passo 4
Agora usamos a propriedade do fator constante para tirar as constantes fora das integrais:
Portanto
Passo 5
Conhecemos as primitivas básicas:
- A primitiva de
é . Ou seja,
Explicação breve: a derivada de
é
para
, por isso usamos o valor absoluto dentro do logaritmo para cobrir
e
.
- A primitiva de
é . Ou seja,
pois
.
Passo 6
Aplicando essas primitivas às nossas parcelas:
Lembre-se de que cada integral indefinida tem uma constante de integração; ao combinar os resultados finais usamos uma única constante
.
Passo 7
Juntando tudo:
Verificação rápida (derivando o resultado):
, que é o integrando original.