Determinar os seguintes limites, usando as regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \ln x}{x+\ln x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \to +\infty} \frac{x \ln x}{x + \ln x}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Para x \to +\infty vale \ln x \to +\infty.
  • Portanto o numerador x\ln x \to +\infty.
  • E o denominador x + \ln x \to +\infty.
  • Logo a expressão tem a forma indeterminada \tfrac{\infty}{\infty}.

Passo 2

Quando temos uma indeterminação do tipo \tfrac{\infty}{\infty} podemos usar a regra de L’Hospital. Vou enunciar a ideia básica (de forma simples): se f e g são diferenciáveis numa vizinhança (à direita) de um ponto e f(x)\to\infty, g(x)\to\infty quando x\to a, e se \lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)} existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui a=+\infty. É preciso também que g'(x)\neq 0 para x suficientemente grande; no nosso caso isso será verificado depois.

Passo 3

Identificamos
f(x)=x\ln x,\qquad g(x)=x+\ln x.
Ambas são diferenciáveis para x>0. Vamos calcular as derivadas (passo a passo, bem mastigado):
Regra do produto para f: f(x)=x\cdot \ln x. A derivada de x é 1 e a derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}. Assim,
f'(x)=1\cdot \ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x + 1.
Para g: g(x)=x+\ln x. Derivando termo a termo,
g'(x)=1+\frac{1}{x}.
Note que, para x>0, temos g'(x)=1+\dfrac{1}{x}>0, então não se anula para x grande — condição ok.

Passo 4

Aplicando L’Hospital (já que temos a indeterminação \tfrac{\infty}{\infty} e as hipóteses atendidas), obtemos
\lim_{x\to +\infty}\frac{x\ln x}{x+\ln x} = \lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x + 1}{1 + \dfrac{1}{x}}.

Passo 5

Agora avaliamos o limite da nova razão. À medida que x\to +\infty temos \ln x + 1 \to +\infty e 1+\dfrac{1}{x}\to 1. Portanto a fração tende a
\frac{+\infty}{1} = +\infty.
Logo o limite é +\infty.

Passo 6

Comentário intuitivo útil para a prova: também se pode dividir numerador e denominador por x desde o início:
\frac{x\ln x}{x+\ln x}=\frac{\ln x}{1+\dfrac{\ln x}{x}}.
Como \dfrac{\ln x}{x}\to 0 quando x\to\infty, o denominador tende a 1 e a expressão tem o mesmo comportamento que \ln x, que diverge para +\infty. Isso confirma o resultado obtido com L’Hospital.

Resposta

+\infty

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