Determinar os seguintes limites, usando as regras de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes que o enunciado dá:
- Para
vale . - Portanto o numerador
. - E o denominador
. - Logo a expressão tem a forma indeterminada
.
Passo 2
Quando temos uma indeterminação do tipo
podemos usar a regra de L’Hospital. Vou enunciar a ideia básica (de forma simples): se
e
são diferenciáveis numa vizinhança (à direita) de um ponto e
,
quando
, e se
existe (ou é
), então
Aqui
. É preciso também que
para
suficientemente grande; no nosso caso isso será verificado depois.
Passo 3
Identificamos
Ambas são diferenciáveis para
. Vamos calcular as derivadas (passo a passo, bem mastigado):
Regra do produto para
:
. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Assim,
Para
:
. Derivando termo a termo,
Note que, para
, temos
, então não se anula para
grande — condição ok.
Passo 4
Aplicando L’Hospital (já que temos a indeterminação
e as hipóteses atendidas), obtemos
Passo 5
Agora avaliamos o limite da nova razão. À medida que
temos
e
. Portanto a fração tende a
Logo o limite é
.
Passo 6
Comentário intuitivo útil para a prova: também se pode dividir numerador e denominador por
desde o início:
Como
quando
, o denominador tende a
e a expressão tem o mesmo comportamento que
, que diverge para
. Isso confirma o resultado obtido com L’Hospital.