Calcule a derivada das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é um produto de duas funções: uma exponencial
e uma trigonométrica .
O que se pede: - Encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Ferramentas que vamos usar (com explicação didática e simples).
Produto de funções (regra do produto):
Se , então
Se
Aqui
e
são funções de
. A ideia é: derivar a primeira mantendo a segunda, somar com a derivada da segunda mantendo a primeira.
Regra da cadeia (para compostos):
Se , então
Se
Ou seja, deriva-se a função externa
avaliada na interna
e multiplica-se pela derivada da função interna
.
Derivadas básicas que vamos precisar:
- Para a exponencial: a derivada de
em relação a é . Aplicando regra da cadeia, se então
- Para o cosseno: a derivada de
em relação a é . Aplicando regra da cadeia, se então
Passo 3
Identificar as funções do produto para aplicar a regra do produto.
Escolho
Escolho
Então
e vamos calcular
e
separadamente.
Passo 4
Calcular
.
Temos . Aqui a parte interna é
com
.
Aplicando a regra da cadeia para exponencial:
Temos
Aplicando a regra da cadeia para exponencial:
Explicação: derivada de
é
e multiplicamos pela derivada de
, que é
.
Passo 5
Calcular
.
Temos . A parte interna é
com
.
Aplicando regra da cadeia para cosseno:
Temos
Aplicando regra da cadeia para cosseno:
Explicação: derivada de
é
e multiplicamos por
.
Passo 6
Aplicar a regra do produto usando os resultados obtidos.
Substituindo
,
,
e
:
Agora fatoramos
(comum aos dois termos) para simplificar a escrita:
Passo 7
Interpretação rápida para prova:
- Primeiro identifique as duas funções do produto.
- Calcule as derivadas individuais usando regra da cadeia quando houver termos do tipo
dentro de exponenciais ou trigonométricas. - Aplique produto e simplifique fatorando termos comuns (a fatoração deixa a resposta mais compacta e elegante).