Calcule a derivada das funções:
f(x)=e^{2 x} \cos 3 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=e^{2x}\cos 3x.
Informações dadas:
  • A função é um produto de duas funções: uma exponencial e^{2x} e uma trigonométrica \cos 3x.
    O que se pede:
  • Encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Ferramentas que vamos usar (com explicação didática e simples).
Produto de funções (regra do produto):
Se f(x)=u(x)\,v(x), então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u e v são funções de x. A ideia é: derivar a primeira mantendo a segunda, somar com a derivada da segunda mantendo a primeira.
Regra da cadeia (para compostos):
Se h(x)=g\big(u(x)\big), então
h'(x)=g'\big(u(x)\big)\,u'(x).
Ou seja, deriva-se a função externa g avaliada na interna u(x) e multiplica-se pela derivada da função interna u'(x).
Derivadas básicas que vamos precisar:
  • Para a exponencial: a derivada de e^{t} em relação a t é e^{t}. Aplicando regra da cadeia, se t=t(x) então
\frac{d}{dx}e^{t(x)}=t'(x)e^{t(x)}.
  • Para o cosseno: a derivada de \cos t em relação a t é -\sin t. Aplicando regra da cadeia, se t=t(x) então
\frac{d}{dx}\cos\big(t(x)\big)=-\sin\big(t(x)\big)\,t'(x).

Passo 3

Identificar as funções do produto para aplicar a regra do produto.
Escolho
u(x)=e^{2x},\qquad v(x)=\cos 3x.
Então f(x)=u(x)\,v(x) e vamos calcular u'(x) e v'(x) separadamente.

Passo 4

Calcular u'(x).
Temos u(x)=e^{2x}. Aqui a parte interna é t(x)=2x com t'(x)=2.
Aplicando a regra da cadeia para exponencial:
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}.
Explicação: derivada de e^{t} é e^{t} e multiplicamos pela derivada de t=2x, que é 2.

Passo 5

Calcular v'(x).
Temos v(x)=\cos 3x. A parte interna é s(x)=3x com s'(x)=3.
Aplicando regra da cadeia para cosseno:
v'(x)=\frac{d}{dx}\cos 3x = -\sin 3x \cdot 3 = -3\sin 3x.
Explicação: derivada de \cos t é -\sin t e multiplicamos por t'=3.

Passo 6

Aplicar a regra do produto usando os resultados obtidos.
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u'(x)=2e^{2x}, v(x)=\cos 3x, u(x)=e^{2x} e v'(x)=-3\sin 3x:
f'(x)=2e^{2x}\cos 3x + e^{2x}\big(-3\sin 3x\big).
Agora fatoramos e^{2x} (comum aos dois termos) para simplificar a escrita:
f'(x)=e^{2x}\big(2\cos 3x - 3\sin 3x\big).

Passo 7

Interpretação rápida para prova:
  • Primeiro identifique as duas funções do produto.
  • Calcule as derivadas individuais usando regra da cadeia quando houver termos do tipo a x dentro de exponenciais ou trigonométricas.
  • Aplique produto e simplifique fatorando termos comuns (a fatoração deixa a resposta mais compacta e elegante).

Resposta

f'(x)=e^{2x}\big(2\cos 3x - 3\sin 3x\big)

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