Determinar quais das seguintes proposições são tautologias, contradições ou contingências :
p \wedge q \rightarrow(p \leftrightarrow q \vee r)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a fórmula lógica
p \wedge q \to \bigl(p \leftrightarrow (q \vee r)\bigr)
como tautologia, contradição ou contingência. Vamos usar tabela-verdade e a definição de condicional: \alpha \to \beta é falsa só quando \alpha é verdadeira e \beta é falsa.

Passo 2

Identificamos o antecedente p \wedge q. Para que a implicação possa falhar, precisamos ter
p \wedge q = \text{V}.
Isto só ocorre quando p = \text{V} e q = \text{V}. Essas são as únicas linhas em que a fórmula poderia ser falsa.

Passo 3

Nas linhas críticas, p = \text{V}, q = \text{V} e r pode ser \text{V} ou \text{F}. Avaliamos então o consequente
p \leftrightarrow (q \vee r).

Passo 4

Caso 1: p=\text{V},q=\text{V},r=\text{F}
q \vee r = \text{V}\vee\text{F} = \text{V},\quad p \leftrightarrow (q \vee r) = \text{V}\leftrightarrow\text{V} = \text{V}.
Logo \text{V}\to\text{V} = \text{V}.
Caso 2: p=\text{V},q=\text{V},r=\text{V}
q \vee r = \text{V}\vee\text{V} = \text{V},\quad p \leftrightarrow (q \vee r) = \text{V}\leftrightarrow\text{V} = \text{V}.
Logo \text{V}\to\text{V} = \text{V}.

Passo 5

Fora dessas duas linhas, p\wedge q é \text{F} e a implicação é automaticamente \text{V}. Como em todas as 8 linhas da tabela-verdade o valor é verdadeiro, a fórmula é uma tautologia.

Resposta

A proposição é uma tautologia.

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