Determinar se os seguintes sina is são de energia, de potência ou nenhum dos dois:
x(t)=t u(t)

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x(t)=t\,u(t),
onde u(t) é o degrau unitário (ou seja, u(t)=0 para t<0 e u(t)=1 para t\ge0). A pergunta é: determinar se x(t) é um sinal de energia, de potência ou nenhum dos dois. Vou listar claramente o que foi dado:
  • Sinal: \displaystyle x(t)=t\,u(t).
  • Informação sobre u(t): u(t)=0 para t<0 e u(t)=1 para t\ge0.
  • Pedido: classificar o sinal como sinal de energia (energia finita), sinal de potência (potência média finita e não nula) ou nenhum dos dois.

Passo 2

Definições e fórmulas que vou usar (explicando cada termo):
  • Energia de um sinal x(t):
E=\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^{2}\,dt.
Aqui E é um número real não negativo; se E<\infty dizemos que é sinal de energia.
  • Potência média de um sinal x(t) (definição usual, simétrica):
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^{2}\,dt.
Se esse limite existe e 0<P<\infty, dizemos que é sinal de potência. Se P=\infty ou o limite não existe, então não é um sinal de potência (no sentido usual).
Observação: para sinais causais (zero para t<0) também se usa às vezes a média unilateral \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}|x(t)|^{2}\,dt; se uma delas diverge, o sinal não tem potência finita.

Passo 3

Adaptando as definições ao nosso sinal. Como u(t)=0\) para \(t<0\) e \(u(t)=1\) para \(t\ge0\), temos explicitamente \[x(t)=\begin{cases}0, & t<0,\\\ t, & t\ge0.\end{cases}
Logo |x(t)|^{2}=t^{2}\] para \(t\ge0 e 0 para t<0.

Passo 4

Calcular a energia E:
E=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^{2}\,dt=\int_{0}^{\infty}t^{2}\,dt.
Agora computamos essa integral imprópria. A primitiva de t^{2} é \dfrac{t^{3}}{3}, portanto
\int_{0}^{A}t^{2}\,dt=\frac{A^{3}}{3}.
Tomando A\to\infty obtemos
\int_{0}^{\infty}t^{2}\,dt=\lim_{A\to\infty}\frac{A^{3}}{3}=\infty.
Conclusão imediata: a energia E é infinita, portanto x(t) NÃO é um sinal de energia.

Passo 5

Calcular a potência média P pela definição simétrica:
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^{2}\,dt.
Como x(t)=0 para t<0, a integral reduz-se a
\int_{-T}^{T}|x(t)|^{2}\,dt=\int_{0}^{T}t^{2}\,dt=\frac{T^{3}}{3}.
Substituindo:
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\cdot\frac{T^{3}}{3}=\lim_{T\to\infty}\frac{T^{2}}{6}.
Esse limite diverge para infinito:
P=\infty.
Portanto a potência média não é finita; x(t) NÃO é um sinal de potência (no sentido usual).

Passo 6

Comentário paralelo (intuição curta): mesmo usando a média unilateral
\widetilde{P}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}t^{2}\,dt=\lim_{T\to\infty}\frac{T^{2}}{3}=\infty,
também diverge. Isso faz sentido intuitivo: x(t)=t cresce sem limite para t\to\infty, então tanto energia acumulada quanto energia por unidade de tempo crescem sem controle.

Passo 7

Conclusão final do raciocínio: a energia é infinita e a potência média é infinita; portanto o sinal não é de energia nem de potência.

Resposta

nenhum dos dois.

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