Considere um gerador trifásico ideal, equilibrado e simétrico, com \mathrm{Va}=300_{\mathrm{L}} 0^{\circ}(\mathrm{V}) ; \mathrm{Vb}=300_{\mathrm{L}} 120^{\circ}(\mathrm{V}) e \mathrm{Vc}=300_{\mathrm{L}} 120^{\circ}(\mathrm{V}), encontre as componentes de sequência da fase a com o método das componentes simétricas.

Passo 1

O enunciado dá um gerador trifásico ideal, equilibrado e simétrico, com as tensões fasoriais de fase iguais em módulo e defasadas em 120^\circ. Vou escrever os fasores de fase que vou usar (corrigindo a coerência dos ângulos para um sistema equilibrado de sequência positiva; isto é coerente com “equilibrado e simétrico”):
  • \displaystyle V_a=300\angle 0^\circ\\ (\mathrm{V}),
  • \displaystyle V_b=300\angle -120^\circ\\ (\mathrm{V}),
  • \displaystyle V_c=300\angle 120^\circ\\ (\mathrm{V}).
O que o enunciado pede: encontrar as componentes de sequência da fase a pelo método das componentes simétricas — isto significa calcular o componente de sequência zero \displaystyle V_0, de sequência positiva \displaystyle V_1 e de sequência negativa \displaystyle V_2 correspondentes à mesma fase a.

Passo 2

Vou escrever as fórmulas básicas das componentes simétricas (transformada de Fortescue). Para qualquer tríade de fasores \displaystyle V_a,\\ V_b,\\ V_c\) definimos o operador complexo \[a = e^{j120^\circ},
com as propriedades
a^3 = 1,\qquad 1+a+a^2=0,\qquad a^2 = e^{-j120^\circ}.
As relações diretas (componentes para fases) são
\begin{cases} V_a = V_0 + V_1 + V_2,\\[4pt] V_b = V_0 + a^2 V_1 + a V_2,\\[4pt] V_c = V_0 + a V_1 + a^2 V_2. \end{cases}
Invertendo (fórmula que usamos para obter as componentes a partir dos fasores de fase):
\begin{cases} V_0 = \dfrac{1}{3}\,\bigl(V_a + V_b + V_c\bigr),\\[6pt] V_1 = \dfrac{1}{3}\,\bigl(V_a + a\,V_b + a^2\,V_c\bigr),\\[6pt] V_2 = \dfrac{1}{3}\,\bigl(V_a + a^2\,V_b + a\,V_c\bigr). \end{cases}
Explico rapidamente o que cada componente representa, em linguagem simples:
  • \displaystyle V_0\] (sequência zero) é um componente em que as três fases têm o mesmo fasor (mesma amplitude e fase). - \(\displaystyle V_1 (sequência positiva) é a componente onde as fases giram na ordem a\to b\to c com deslocamentos 0^\circ,-120^\circ,+120^\circ.
    - \displaystyle V_2 (sequência negativa) é a componente com ordem invertida a\to c\to b.]

Passo 3

Calcular \displaystyle V_0. Usamos a fórmula direta:
V_0 = \frac{1}{3}\,(V_a+V_b+V_c).
Substituindo os valores dados:
V_0 = \frac{1}{3}\,300\bigl( e^{j0^\circ} + e^{-j120^\circ} + e^{j120^\circ}\bigr).
Usando e^{j120^\circ}+e^{-j120^\circ}=2\cos 120^\circ e \cos 120^\circ=-\tfrac{1}{2}, temos
e^{j120^\circ}+e^{-j120^\circ}=2\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-1.
Logo
e^{j0^\circ}+e^{-j120^\circ}+e^{j120^\circ}=1-1=0,
portanto
V_0=\frac{1}{3}\cdot 300\cdot 0 = 0\\ (\mathrm{V}).

Passo 4

Calcular \displaystyle V_1. Usamos
V_1 = \frac{1}{3}\,(V_a + a\,V_b + a^2\,V_c).
Observação útil: para um sistema equilibrado de sequência positiva, os fasores satisfazem V_b = a^2 V_a e V_c = a V_a. Aqui, de fato, V_b=300\angle -120^\circ = a^2\cdot 300\angle 0^\circ e V_c=300\angle 120^\circ = a\cdot 300\angle 0^\circ. Substituindo na expressão de V_1:
V_1 = \frac{1}{3}\Bigl(V_a + a\,(a^2 V_a) + a^2\,(a V_a)\Bigr) = \frac{1}{3}\,V_a\Bigl(1 + a^3 + a^3\Bigr).
Como a^3=1, isso dá
V_1 = \frac{1}{3}\,V_a(1+1+1)=V_a.
Portanto, com V_a=300\angle 0^\circ,
V_1 = 300\angle 0^\circ\\ (\mathrm{V}).

Passo 5

Calcular \displaystyle V_2. Usamos
V_2 = \frac{1}{3}\,(V_a + a^2\,V_b + a\,V_c).
Substituindo novamente V_b = a^2 V_a e V_c = a V_a:
V_2 = \frac{1}{3}\Bigl(V_a + a^2\,(a^2 V_a) + a\,(a V_a)\Bigr) = \frac{1}{3}\,V_a\Bigl(1 + a^4 + a^2\Bigr).
Como a^3=1 temos a^4=a. Assim o parêntese é 1 + a + a^2 = 0. Portanto
V_2 = \frac{1}{3}\,V_a\cdot 0 = 0\\ (\mathrm{V}).

Passo 6

Interpretação final e resumo didático: num gerador equilibrado e simétrico de sequência positiva os únicos componentes presentes são a sequência positiva (a componente \displaystyle V_1) enquanto as componentes zero e negativa são nulas. O cálculo mostrou exatamente isso: \displaystyle V_0=0, \displaystyle V_1=300\angle 0^\circ e \displaystyle V_2=0. Isso significa, na prática, que toda a tensão de fase a está na componente positiva, ou seja, não há assimetria nem componente homopolar.

Resposta

\displaystyle V_0=0\\ \mathrm{V}
\displaystyle V_1=300\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}
\displaystyle V_2=0\\ \mathrm{V}

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