Determine a periodicidade dos seguintes sinais, e se for periódico calcular o período:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o sinal
é periódico no tempo discreto e, se for, calcular o período. Informações dadas:
- A expressão do sinal é
. - A variável
é o índice discreto (inteiros): .
Passo 2
Definição de periodicidade para sinais discretos (explicação curta e didática).
- Um sinal discreto
é periódico se existir um inteiro positivo tal que, para todo inteiro ,
- Para uma exponencial complexa
isso significa que o fator extra ao somar ao índice deve ser :
- A condição
ocorre exatamente quando o ângulo é um múltiplo inteiro de , isto é,
onde
é um inteiro. Aqui
é a frequência angular discreta do sinal (no nosso caso
).
Explicando as variáveis:
Explicando as variáveis:
-
é a frequência angular em radianos por amostra. -
é o candidato a período (deve ser inteiro e positivo). -
é um inteiro que conta quantas voltas completas de a fase acumula quando avançamos amostras.
Passo 3
Aplicar a condição ao sinal dado. Colocar
na igualdade
:
Resolver essa equação para
:
Isto mostra que todos os inteiros
que satisfazem a condição têm a forma
, com
.
Passo 4
Determinar o período fundamental (menor período positivo).
- Entre os valores
com inteiro, o menor ocorre quando , ou seja . - Para conferir, calcule diretamente:
porque
. Portanto o sinal repete a cada 8 amostras e todos os períodos positivos são múltiplos de 8.
Passo 5
Exemplo numérico para fixar a ideia (mostra os 8 valores distintos antes da repetição):
Isso deixa claro que a sequência repete após 8 amostras.
Passo 6
Resumo rápido e incentivo:
- A condição de periodicidade levou à relação
. O menor inteiro positivo que satisfaz é , logo o sinal é periódico no tempo discreto com período fundamental 8. Boa! Está feito — agora relaxa um pouco e respira fundo; esse tipo de verificação costuma cair sempre do mesmo jeito na prova.