Determine a periodicidade dos seguintes sinais, e se for periódico calcular o período:
x[n]=e^{j(\pi / 4) n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o sinal x[n]=e^{j(\pi/4)n} é periódico no tempo discreto e, se for, calcular o período. Informações dadas:
  • A expressão do sinal é x[n]=e^{j(\pi/4)n}.
  • A variável n é o índice discreto (inteiros): n\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Definição de periodicidade para sinais discretos (explicação curta e didática).
  • Um sinal discreto x[n] é periódico se existir um inteiro positivo N tal que, para todo inteiro n,
x[n+N]=x[n].
  • Para uma exponencial complexa x[n]=e^{j\omega_0 n} isso significa que o fator extra ao somar N ao índice deve ser 1:
e^{j\omega_0(n+N)}=e^{j\omega_0 n}\quad\Rightarrow\quad e^{j\omega_0 N}=1.
  • A condição e^{j\omega_0 N}=1 ocorre exatamente quando o ângulo \omega_0 N é um múltiplo inteiro de 2\pi, isto é,
\omega_0 N = 2\pi k,
onde k é um inteiro. Aqui \omega_0 é a frequência angular discreta do sinal (no nosso caso \omega_0=\pi/4).
Explicando as variáveis:
  • \omega_0 é a frequência angular em radianos por amostra.
  • N é o candidato a período (deve ser inteiro e positivo).
  • k é um inteiro que conta quantas voltas completas de 2\pi a fase acumula quando avançamos N amostras.

Passo 3

Aplicar a condição ao sinal dado. Colocar \omega_0=\pi/4 na igualdade \omega_0 N = 2\pi k:
\left(\frac{\pi}{4}\right)N = 2\pi k.
Resolver essa equação para N:
N = \frac{2\pi k}{\pi/4} = 8k.
Isto mostra que todos os inteiros N que satisfazem a condição têm a forma N=8k, com k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Determinar o período fundamental (menor período positivo).
  • Entre os valores N=8k com k inteiro, o menor N>0 ocorre quando k=1, ou seja N=8.
  • Para conferir, calcule diretamente:
x[n+8]=e^{j(\pi/4)(n+8)}=e^{j(\pi/4)n}\,e^{j(\pi/4)\cdot 8}=e^{j(\pi/4)n}\,e^{j2\pi}=e^{j(\pi/4)n}=x[n],
porque e^{j2\pi}=1. Portanto o sinal repete a cada 8 amostras e todos os períodos positivos são múltiplos de 8.

Passo 5

Exemplo numérico para fixar a ideia (mostra os 8 valores distintos antes da repetição):
\begin{aligned} x[0]&=e^{j0}=1,\\\ x[1]&=e^{j\pi/4}=\frac{1+j}{\sqrt{2}},\\\ x[2]&=e^{j\pi/2}=j,\\\ x[3]&=e^{j3\pi/4}=\frac{-1+j}{\sqrt{2}},\\\ x[4]&=e^{j\pi}=-1,\\\ x[5]&=e^{j5\pi/4}=\frac{-1-j}{\sqrt{2}},\\\ x[6]&=e^{j3\pi/2}=-j,\\\ x[7]&=e^{j7\pi/4}=\frac{1-j}{\sqrt{2}},\\\ x[8]&=e^{j2\pi}=1=x[0]. \end{aligned}
Isso deixa claro que a sequência repete após 8 amostras.

Passo 6

Resumo rápido e incentivo:
  • A condição de periodicidade levou à relação N=8k. O menor inteiro positivo que satisfaz é N=8, logo o sinal é periódico no tempo discreto com período fundamental 8. Boa! Está feito — agora relaxa um pouco e respira fundo; esse tipo de verificação costuma cair sempre do mesmo jeito na prova.

Resposta

x[n] é periódico e seu período fundamental é N=8.

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