Determinar F(z) sendo que F(s)=1-e^-T ss e^-L s(s+1)s^2+5 s+6, onde T=0,02 e L=3. As constantes T e L são dadas em segundos.

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Queremos determinar a partir de , onde segundos e segundos. Vamos usar propriedades da Transformada de Laplace para resolver esse exercício.

Passo 2

Entendendo a Expressão de F(s) = 1 - e^-T ss cdot e^-L s(s + 1)s^2 + 5 s + 6 :
Primeiro, vamos simplificar a expressão de :
Aqui, temos dois fatores principais:
  1. : Relaciona-se a um degrau unitário com atraso .
  2. : Inclui um atraso e um polinômio no denominador que podemos fatorar.

Passo 3

Fatorando o Denominador:
Vamos fatorar o denominador s^2 + 5 s + 6 = (s + 2)(s + 3) :
F(s) = 1 - e^-0,02 ss cdot e^-3 s(s + 1)(s + 2)(s + 3)
Agora, nossa expressão fica:

Passo 4

Separando os Termos:
Podemos separar F(s) = ( 1s - e^-0,02 ss ) cdot e^-3 s(s + 1)(s + 2)(s + 3) em duas partes:
Isso nos ajuda a aplicar a Transformada de Laplace inversa em partes mais simples.

Passo 5

Aplicando a Transformada de Laplace Inversa:
Vamos considerar cada parte separadamente.
Primeiro, considere s + 1(s + 2)(s + 3) = As + 2 + Bs + 3 . Usaremos frações parciais para simplificar:
s + 1 = A(s + 3) + B(s + 2)
Resolvendo para -3 + 1 = A(0) + B(-3 + 2) Rightarrow -2 = -B Rightarrow B = 2 e -2 + 1 = A(-2 + 3) + B(0) Rightarrow -1 = A(1) Rightarrow A = -1 :
s + 1(s + 2)(s + 3) = -1s + 2 + 2s + 3
Para :
Para :
Portanto:

Passo 6

Aplicando o Tempo de Atraso:
Agora, incluímos os termos de atraso f(t) = L^-1 1s cdot ( -1s + 2 + 2s + 3 ) - L^-1 e^-0,02 ss cdot ( -1s + 2 + 2s + 3 ) cdot u(t - 3) e . A Transformada de Laplace inversa de é , onde é a função degrau de Heaviside.
Assim, temos:

Passo 7

Calculando as Transformadas Individuais:
Calculamos cada termo separadamente usando a tabela de transformadas de Laplace:
  1. Considerando o atraso de segundos e segundos, ajustamos as funções com as funções degrau.

Passo 8

Montando a Solução Final:
Combinando todos os termos, a solução final fica:
F(z) = 12 (1 - e^-2 z) + 23 (1 - e^-3 z) - [ 12 (1 - e^-2 (z - 3)) + 23 (1 - e^-3 (z - 3)) ] u(z - 3)

Resposta

A função F(z) = 12 (1 - e^-2 z) + 23 (1 - e^-3 z) - [ 12 (1 - e^-2 (z - 3)) + 23 (1 - e^-3 (z - 3)) ] u(z - 3) é dada por:

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