Determinar
sendo que
, onde
e
. As constantes
e
são dadas em segundos.
Passo 1
Resumo do Enunciado:
Queremos determinar a partir de
, onde
segundos e
segundos. Vamos usar propriedades da Transformada de Laplace para resolver esse exercício.
Queremos determinar
Passo 2
Entendendo a Expressão de
:
Primeiro, vamos simplificar a expressão de :
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
Aqui, temos dois fatores principais:
-
: Relaciona-se a um degrau unitário com atraso . -
: Inclui um atraso e um polinômio no denominador que podemos fatorar.
Passo 3
Fatorando o Denominador:
Vamos fatorar o denominador :
Vamos fatorar o denominador
Agora, nossa expressão fica:
Passo 4
Separando os Termos:
Podemos separar em duas partes:
Podemos separar
Isso nos ajuda a aplicar a Transformada de Laplace inversa em partes mais simples.
Passo 5
Aplicando a Transformada de Laplace Inversa:
Vamos considerar cada parte separadamente.
Vamos considerar cada parte separadamente.
Primeiro, considere
. Usaremos frações parciais para simplificar:
Resolvendo para
e
:
Para
:
Para
:
Portanto:
Passo 6
Aplicando o Tempo de Atraso:
Agora, incluímos os termos de atraso e
. A Transformada de Laplace inversa de
é
, onde
é a função degrau de Heaviside.
Agora, incluímos os termos de atraso
Assim, temos:
Passo 7
Calculando as Transformadas Individuais:
Calculamos cada termo separadamente usando a tabela de transformadas de Laplace:
Calculamos cada termo separadamente usando a tabela de transformadas de Laplace:
-
-
- Considerando o atraso de
segundos e segundos, ajustamos as funções com as funções degrau.
Passo 8
Montando a Solução Final:
Combinando todos os termos, a solução final fica:
Combinando todos os termos, a solução final fica:
Resposta
A função
é dada por: