Projete um observador para o sistema abaixo. A resposta ao degrau em malha fechada do observador deve ter 10% de ultrapassagem com um tempo de acomodação de 0,1 s.
dotx=A x+B u=[ccc -7 & 1 & 0 0 & -8 & 1 0 & 0 & -9 ] x+[l 0 0 1 ] u y=C x=[lll 1 & 0 & 0 ] x

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui.
Enunciado: “Projete um observador (Luenberger) para o sistema
dot x = A,x + B,u, y = C,x
com
A=-7&1&00&-8&10&0&-9,; B=001,; C=1&0&0,
de modo que, em malha fechada, a resposta ao degrau do observador tenha 10 % de ultrapassagem e tempo de acomodação de 0,1 s.
Conteúdo ⟶ Projeto de observador de estado (Luenberger) via colocação de polos.
O que vamos precisar ⟶
  1. Verificar observabilidade;
  2. Traduzir as especificações de máximo ultrapassagem (Mₚ=10 %) e tempo de acomodação (Tₛ=0,1 s) em ζ (fator de amortecimento) e ωₙ (frequência natural);
  3. Definir um polinômio desejado de terceiro grau (colocação de polos: par complexo + polo real extra);
  4. Igualar esse polinômio ao det [sI–(A–L C)] e resolver para L.

Passo 2

Antes de tudo, confere se o sistema é observável (pra gente poder mesmo pôr um observador). Montamos a matriz de observabilidade
O = CC,AC,A^2 = 1&0&0 -7&1&0 49&-15&1
O determinante disso é diferente de zero, logo full rank = 3. Então tá tudo certo, dá pra projetar o observador.

Passo 3

Transformar as specs de tempo e overshoot em ζ e ωₙ.
  • A ultrapassagem máxima Mₚ para um sistema de segunda ordem é
Mp = e^-pi,zetaraiz1-zeta^2,
Queremos 0.10 = e^-pi,zetaraiz1-zeta^2 ;Longrightarrow; zeta approx 0.591 . Daí a gente resolve numericamente
Ts approx 4zeta,omegan!,
  • O tempo de acomodação (regra de 2 % ou 4 ?: a gente usa 4 %) é
omegan = 4zeta,Ts = 40.591times0.1 approx 67.7;rad/s
logo

Passo 4

Escolher a distribuição dos 3 polos do observador. A gente quer um par complexo com ζ=0.591, ωₙ=67.7 e mais um polo real bem mais rápido (pra garantir que só o par complexo “domine” a resposta). Por exemplo, escolhemos o polo real em s1,2 = -zetaomegan pm j,omeganraiz1-zeta^2 approx -40.0 pm j,54.6 .
  • Os polos complexos são
(s - s1)(s - s2)(s - s3) = l(s^2+2zetaomegan s+omegan^2r),(s+200)
  • O polo extra: s^3 + 280,s^2 + 20587,s + 917400 = 0 .
    O polinômio desejado de terceiro grau é
Calculando dá

Passo 5

Agora a gente iguala esse polinômio ao de L = l1l2l3, A - L,C = -7-l1 & 1 & 0 -,l2 & -8 & 1 -,l3 & 0 & -9 , . Se escrever
det!l(sI - (A-LC)r) = s^3 + (24 + l1),s^2 + l(191 + 17,l1 + l2r),s + l(504 + 72,l1 + 9,l2 + l3r)
então
s^3 + 280,s^2 + 20587,s + 917400
Queremos isso igual a
Basta igualar coeficiente a coeficiente e resolver:
  1. .
  2. .

Resposta

O ganho do observador que atende às especificações é
boxedL = 256[3pt]16044[3pt]754068

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