Projete um observador para o sistema abaixo. A resposta ao degrau em malha fechada do observador deve ter 10% de ultrapassagem com um tempo de acomodação de .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos aqui.
Enunciado: “Projete um observador (Luenberger) para o sistema
dot x = A,x + B,u, y = C,x
com
A=-7&1&00&-8&10&0&-9,; B=001,; C=1&0&0,
de modo que, em malha fechada, a resposta ao degrau do observador tenha 10 % de ultrapassagem e tempo de acomodação de 0,1 s.
Conteúdo ⟶ Projeto de observador de estado (Luenberger) via colocação de polos.
O que vamos precisar ⟶
Verificar observabilidade;
Traduzir as especificações de máximo ultrapassagem (Mₚ=10 %) e tempo de acomodação (Tₛ=0,1 s) em ζ (fator de amortecimento) e ωₙ (frequência natural);
Definir um polinômio desejado de terceiro grau (colocação de polos: par complexo + polo real extra);
Igualar esse polinômio ao det [sI–(A–L C)] e resolver para L.
Passo 2
Antes de tudo, confere se o sistema é observável (pra gente poder mesmo pôr um observador). Montamos a matriz de observabilidade
O = CC,AC,A^2 = 1&0&0 -7&1&0 49&-15&1
O determinante disso é diferente de zero, logo full rank = 3. Então tá tudo certo, dá pra projetar o observador.
Passo 3
Transformar as specs de tempo e overshoot em ζ e ωₙ.
A ultrapassagem máxima Mₚ para um sistema de segunda ordem é
Mp = e^-pi,zetaraiz1-zeta^2,
Queremos 0.10 = e^-pi,zetaraiz1-zeta^2 ;Longrightarrow; zeta approx 0.591 . Daí a gente resolve numericamente
Ts approx 4zeta,omegan!,
O tempo de acomodação (regra de 2 % ou 4 ?: a gente usa 4 %) é
Escolher a distribuição dos 3 polos do observador. A gente quer um par complexo com ζ=0.591, ωₙ=67.7 e mais um polo real bem mais rápido (pra garantir que só o par complexo “domine” a resposta). Por exemplo, escolhemos o polo real em s1,2 = -zetaomegan pm j,omeganraiz1-zeta^2 approx -40.0 pm j,54.6 .
Os polos complexos são
(s - s1)(s - s2)(s - s3) = l(s^2+2zetaomegan s+omegan^2r),(s+200)
O polo extra: s^3 + 280,s^2 + 20587,s + 917400 = 0 .
O polinômio desejado de terceiro grau é
Calculando dá
Passo 5
Agora a gente iguala esse polinômio ao de L = l1l2l3, A - L,C = -7-l1 & 1 & 0 -,l2 & -8 & 1 -,l3 & 0 & -9 , . Se escrever