Projete um controlador de realimentação de estado linear para resultar em 20 % de ultrapassagem e um tempo de acomodação de 2 segundos para o seguinte sistema:
G(s)=(s+6)(s+9)(s+8)(s+7)

Passo 1

Você quer projetar um controlador por realimentação de estado para o sistema
G(s)=s+6(s+9)(s+8)(s+7)
de modo que ele tenha 20 % de ultrapassagem e tempo de acomodação de 2 s.
Conteúdo da matéria: design em espaço de estados e colocação de polos via realimentação de estado (pole–placement).
O que vamos precisar:
- Fórmula que relaciona ultrapassagem máxima a ζ (coeficiente de amortecimento).
- Relação entre tempo de acomodação e frequência natural ωₙ.
- Escolha das raízes (polos) desejadas.
- Transformar G(s) em um modelo estado-espaço na forma canônica controlável.
- Igualar polinômios característicos para achar o ganho K.

Passo 2

Calcular o amortecimento ζ a partir de 20 % de ultrapassagem (%OS).
A fórmula é
%OS = 100,e^-zetapiraiz1-zeta^2,
Ajustando para 0{,}20 (=20 %):
1) Divide por 100: 0,20 = e^-zetapiraiz1-zeta^2.
2) Tome logaritmo:
-zetapiraiz1-zeta^2 = ln(0,20)approx -1,609
  1. Resolva para ζ:
zeta = 1,609raizpi^2 + (1,609)^2approx 0,456,

Passo 3

Calcular a frequência natural ωₙ a partir do tempo de acomodação Ts=2,s.
Para um sistema de segundo ordem, usa-se a aproximação (2 % de banda):
Ts approx 4zeta,omegan,
Logo
omegan = 4zeta,Ts = 40,456cdot2approx 4,386;rad/s,

Passo 4

Determinar os polos desejados.
Os polos complexos desejados são
$$s_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm j,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}
= -2 \pm j,3{,}91,. s1,2 = -zetaomegan pm j,omeganraiz1-zeta^2 = -2 pm j,3,91, éªàs_3 = -10\quad(aprox.\ 5× maior que|\Re{s_{1,2}}|).$$
O polinômio característico desejado é
$$(s - s_1)(s - s_2)(s - s_3)
= (s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2)(s + 10),. s3 = -10(aprox 5× maior que |Res1,2|)s^2 + 2\cdot0{,}456\cdot4{,}386,s + (4{,}386)^2
\approx s^2 +4s +19{,}24 (s - s1)(s - s2)(s - s3) = (s^2 + 2zetaomegan s + omegan^2)(s + 10), ás^3 +14s^2 +59{,}24s +192{,}4,. $$

Passo 5

Montar o modelo estado-espaço em forma canônica controlável.
Denominador de G(s):
(s+9)(s+8)(s+7)=s^3 +24s^2 +191s +504,
A forma canônica controlável é
$$
\dot x = A,x + B,u,\quad
A= dot x = A,x + B,u, A= -24 & -191 & -504 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 , B=100 ,\quad
B= u=-Kx.
det(sI - (A - BK)) = s^3 + (24 + k1)s^2 + (191 + k2)s + (504 + k3), çãô\det(sI - (A - BK)) = s^3 + (24 + k_1)s^2 + (191 + k_2)s + (504 + k_3),. $$

Passo 6

Igualar coeficientes do característico desejado e o de malha fechada:
  1. 24 + k1 = 14 ;Rightarrow; k1 = 14 - 24 = -10
  2. 191 + k2 = 59,24 ;Rightarrow; k2 = 59,24 - 191 = -131,76
  3. 504 + k3 = 192,4 ;Rightarrow; k3 = 192,4 - 504 = -311,6

Resposta

O ganho de realimentação de estado que coloca os polos em -2pm j,3,91 e -10 é
K = -10 & -131,8 & -311,6,

Exercícios relacionados