Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
30-\left(\frac{\ln n}{\sqrt{n}}\right)_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
\displaystyle a_n = 30 - \frac{\ln n}{\sqrt{n}}, n\in\mathbb{N}^*,
e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo é limites de sequência: vamos estudar o comportamento de \frac{\ln n}{\sqrt{n}} quando n\to\infty e daí obter o limite de a_n.

Passo 2

Estudamos primeiro
\displaystyle t_n = \frac{\ln n}{\sqrt{n}}.
Para ver que t_n\to0, consideramos a função de variável real f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}} para x>0 e aplicamos a regra de l’Hôpital ao limite x\to\infty:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}} =\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{x})} =\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1/(2\sqrt{x})} =\lim_{x\to\infty}\frac{2\sqrt{x}}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{x}} =0.

Passo 3

Como \displaystyle t_n=\frac{\ln n}{\sqrt{n}}\to0, segue que
\displaystyle a_n = 30 - t_n \to 30 - 0 = 30. Portanto a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 30.

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