Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
37-\left(n^{\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_n = 37 - n^{\sin\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr)}
e pede para determinar se ela converge ou diverge.
Conteúdo: limites envolvendo funções elementares, uso de equivalência para \sin(x) quando x\to0 e propriedades da exponencial.

Passo 2

Observamos que, quando n\to\infty, o argumento de seno tende a zero:
\lim_{n\to\infty}\sin\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr) =\sin\bigl(\lim_{n\to\infty}\tfrac{\pi}{n}\bigr) =\sin(0) =0.
Além disso, para x pequeno vale a equivalência
\sin(x)\sim x,
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\sin\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr)\sim \tfrac{\pi}{n}.

Passo 3

Escrevemos
n^{\sin(\frac{\pi}{n})} =\exp\!\bigl(\ln(n)\,\sin(\tfrac{\pi}{n})\bigr).
Como \sin(\tfrac{\pi}{n})\sim \tfrac{\pi}{n}, o expoente satisfaz
\ln(n)\,\sin\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr)\sim \ln(n)\,\tfrac{\pi}{n}
e sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n}=0,
portanto o expoente tende a 0 e
\lim_{n\to\infty}n^{\sin(\frac{\pi}{n})} =\exp(0) =1.

Passo 4

Como n^{\sin(\frac{\pi}{n})}\to1, temos
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\bigl(37 - n^{\sin(\frac{\pi}{n})}\bigr) =37 - 1 =36.
Logo a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}\bigl(37 - n^{\sin(\tfrac{\pi}{n})}\bigr) =36.

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