Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
35-\left(\frac{n^{2} \ln n}{2^{n}}\right)_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_n \;=\; 35 \;-\;\frac{n^{2}\ln n}{2^{n}}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O ponto chave é analisar o comportamento do termo
b_n \;=\;\frac{n^{2}\ln n}{2^{n}}
pois, se b_n\to0, então a_n=35-b_n\to35.

Passo 2

Para mostrar que b_n\to0, aplicamos o teste da razão. Calculamos
\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{\frac{(n+1)^{2}\ln(n+1)}{2^{\,n+1}}}{\frac{n^{2}\ln n}{2^{n}}} =\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\;\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\;\frac12.
Como
\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\to1 \quad\text{e}\quad \frac{\ln(n+1)}{\ln n}\to1 \quad(n\to\infty),
segue que
\frac{b_{n+1}}{b_n}\;\longrightarrow\;\frac12<1.
Logo, a razão fica menor que 1 para n grande, o que garante que b_n tende a zero.

Passo 3

Como b_n\to0, temos
a_n \;=\; 35 - b_n \;\longrightarrow\; 35 - 0 = 35.
Portanto, a_n converge.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 35.

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