Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
33-)
(n+pi)^1n
_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
an = (n+pi)^1n,
com ninN^*. O conteúdo principal é limite de sequência do tipo potência, onde usamos logaritmo e exponencial para manipular o expoente.

Passo 2

Aplicamos a transformação via logaritmo:
an = expl(ln anr) = expl(1nln(n+pi)r)
Isso vale porque a função exp é inversa de ln.

Passo 3

Estudamos o limite do expoente:
limntoinftyln(n+pi)n
Como ln(n+pi) cresce muito mais lentamente que n, temos
limntoinftyln(n+pi)n =0

Passo 4

Pela continuidade da exponencial,
limntoinftyan =expl(limntoinftyln(n+pi)nr) =exp(0) =1

Resposta

A sequência converge e
limntoinfty(n+pi)^1n=1

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