Para uma função f=f(x, y, z) de classe C^2 em um aberto de R^3 definimos o
Laplaciano de f como: De<a f=partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2
Verifique as seguintes identidades:
div(f nabla f)=f De<a f-|nabla f|^2;

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade envolvendo a divergência de fnabla f em R^3, onde f=f(x,y,z) é de classe C^2.
Precisamos lembrar que
De<a f = partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2
e que, para um campo vetorial V=(V1,V2,V3),
div V = partial V1partial x+partial V2partial y+partial V3partial z.

Passo 2

Aplicamos diretamente a definição de divergência ao campo fnabla f=(f,fx,;f,fy,;f,fz):
div(fnabla f) =partialpartial x(f,fx) +partialpartial y(f,fy) +partialpartial z(f,fz)

Passo 3

Usando a regra do produto em cada termo, por exemplo
partialpartial x(f,fx) =(partialx f),fx + f,partialx fx =fx^2 + f,fxx,
e análogamente para y e z.

Passo 4

Somando os três resultados obtemos
div(fnabla f) =fx^2+fy^2+fz^2 +f,(fxx+fyy+fzz) =|nabla f|^2 + f,De<a f

Passo 5

Portanto
div(fnabla f)=f,De<a f + |nabla f|^2,
logo a identidade dada com sinal “ -” está incorreta. A forma correta apresenta “ +” antes de |nabla f|^2.

Resposta

div(fnabla f)=f,De<a f + |nabla f|^2.

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