Para uma função
de classe
em um aberto de
definimos o
Laplaciano de
como:
Verifique as seguintes identidades:
;
Laplaciano de
Verifique as seguintes identidades:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade envolvendo a divergência de
em
, onde
é de classe
.
Precisamos lembrar que
e que, para um campo vetorial ,
.
Precisamos lembrar que
e que, para um campo vetorial
Passo 2
Aplicamos diretamente a definição de divergência ao campo
:
Passo 3
Usando a regra do produto em cada termo, por exemplo
e análogamente para
e
.
Passo 4
Somando os três resultados obtemos
Passo 5
Portanto
logo a identidade dada com sinal “
” está incorreta. A forma correta apresenta “
” antes de
.