Q 16 Calcule os limites, envolvendo fatorações e indeterminação 0 / 0.
lim x 2 sen(pi(x^3-8)x-2)

Passo 1

O enunciado pede
limxto 2sen!l(pi,(x^3-8)x-2r)
Observe que, ao substituir x=2, o interior fica da forma 0/0, o que indica indeterminação. Para resolver, usaremos a fatoração de diferença de cubos e a continuidade da função sen.

Passo 2

Fatorando a diferença de cubos x^3-8, temos
x^3 - 8 = (x-2),(x^2 + 2x + 4)
Para xneq2, podemos simplificar
pi,(x^3-8)x-2 = pi,(x-2),(x^2+2x+4)x-2 = pi,(x^2+2x+4)
Logo a expressão do limite fica
limxto2sen!l(pi,(x^2+2x+4)r)

Passo 3

Como sen é contínua em todo R, podemos passar o limite para dentro:
limxto2sen!l(pi,(x^2+2x+4)r) = sen!l(limxto2pi,(x^2+2x+4)r)
Agora calculamos
limxto2pi,(x^2+2x+4) = pi,(2^2+2cdot2+4) = pi,(4+4+4) = 12pi

Passo 4

Portanto
sen(12pi)=0

Resposta

0

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