Determinar a solução do P.V.I.
l d yd x=3 x^2+4 x+22(y-1) y(0)=1

Passo 1

Resumindo o enunciado:
dydx = 3x^2 + 4x + 22(y-1), y(0)=1
É uma equação de variável separável: vamos isolar y de um lado e x do outro e integrar.

Passo 2

Separe as variáveis e integre:
2(y-1),dy = (3x^2 + 4x + 2),dx
integral 2(y-1),dy = integral (3x^2 + 4x + 2),dx
y^2 - 2y = x^3 + 2x^2 + 2x + C

Passo 3

Aplique a condição inicial y(0)=1:
1^2 - 2cdot1 = C ;Longrightarrow; C = -1
Então a relação implícita fica
y^2 - 2y = x^3 + 2x^2 + 2x - 1

Passo 4

Observe que
(y-1)^2 = x^3 + 2x^2 + 2x
Logo
y = 1 pm raizx^3 + 2x^2 + 2x
O radicando exige x^3+2x^2+2x>=0, o que ocorre para x>=0. Além disso, tanto o sinal “ +” quanto o “ -” levam a y(0)=1, mostrando que a unicidade falha no ponto inicial (o teorema não vale em y=1).

Resposta

y(x) = 1 pm raizx^3 + 2x^2 + 2x, x>=0

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