Resolva a E.D.O.
d yd x=3 x^2+4 x+22(y-1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
dydx = 3x^2 + 4x + 22(y-1)
O conteúdo aqui é EDO separável: podemos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por 2(y-1),dx:
2(y-1),dy = l(3x^2 + 4x + 2r),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral 2(y-1),dy = integral l(3x^2 + 4x + 2r),dx
No lado esquerdo:
integral 2(y-1),dy = 2integral (y-1),dy = 2l(y^22 - yr) = y^2 - 2y
No lado direito:
integral (3x^2 + 4x + 2),dx = x^3 + 2x^2 + 2x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Igualando as primitivadas obtemos a solução implícita geral:
y^2 - 2y = x^3 + 2x^2 + 2x + C
Para simplificar, completamos o quadrado em y:
y^2 - 2y + 1 = (y-1)^2 Longrightarrow (y-1)^2 = x^3 + 2x^2 + 2x + C + 1
Renomeando C+1 por C1, fica
(y-1)^2 = x^3 + 2x^2 + 2x + C1

Passo 5

Se quisermos a forma explícita de y, tiramos a raiz quadrada:
y - 1 = pmraizx^3 + 2x^2 + 2x + C1 Longrightarrow y(x) = 1 pm raizx^3 + 2x^2 + 2x + C1

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
(y-1)^2 = x^3 + 2x^2 + 2x + C1,
ou explicitamente por
y(x) = 1 pm raizx^3 + 2x^2 + 2x + C1,
onde C1 é constante de integração.

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