Determinar a solução geral das equações diferenciais a seguir.
y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+7 y^{\prime}-5 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - 3y'' + 7y' - 5y = 0.
O conteúdo é o método do polinômio característico: assumimos uma solução da forma y=e^{rx} e encontramos as raízes de
r^3 - 3r^2 + 7r - 5 = 0.

Passo 2

Substituindo y=e^{rx} na equação, obtemos o polinômio característico
r^3 - 3r^2 + 7r - 5 = 0.

Passo 3

Procuramos raízes racionais testando r=1. Avaliando:
1^3 - 3\cdot1^2 + 7\cdot1 - 5 = 1 - 3 + 7 - 5 = 0,
logo r=1 é raiz. Dividindo o polinômio por r - 1 (divisão sintética) fica
r^2 - 2r + 5.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática
r^2 - 2r + 5 = 0
pela fórmula de Bhaskara:
r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot5}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = 1 \pm 2i.

Passo 5

As raízes do polinômio característico são
r_1 = 1,\quad r_{2,3} = 1 \pm 2i.
Para uma raiz real r_1 e um par complexo conjugado 1\pm2i, a solução geral real é
y(x) = C_1 e^{x} + e^{x}\bigl(C_2\cos(2x) + C_3\sin(2x)\bigr),
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_1 e^{x} + e^{x}\bigl(C_2\cos(2x) + C_3\sin(2x)\bigr).

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