(Valor 20.0 pts) Determinar a solução do PVI de Cauchy-Euller homogêneo:
x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-5 x \frac{d y}{d x}+9 y=0, y(1)=2, y^{\prime}(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de Cauchy–Euler homogêneo
x^{2}y''-5x\,y'+9y=0,
com condições iniciais y(1)=2 e y'(1)=0.
O conteúdo é equação de Euler (ou equidimensional), que se resolve propondo uma solução do tipo y=x^{m}.

Passo 2

Supondo y=x^{m}, temos
y' = m\,x^{m-1}, \quad y'' = m(m-1)\,x^{m-2}.
Substituindo na equação dá
x^{2}\bigl(m(m-1)x^{m-2}\bigr) -5x\bigl(m\,x^{m-1}\bigr) +9x^{m} = 0
\Longrightarrow m(m-1)x^{m} -5m\,x^{m} +9x^{m}=0
\Longrightarrow \bigl(m(m-1)-5m+9\bigr)x^{m}=0.

Passo 3

O polinômio característico é
m^{2}-m-5m+9 = m^{2}-6m+9 =0
que fatoriza como
(m-3)^{2}=0.
Logo a raiz é dupla m=3.

Passo 4

Para raiz dupla m=3, a solução geral é
y(x) = C_{1}\,x^{3} + C_{2}\,x^{3}\ln x.

Passo 5

Calculamos a derivada necessária para aplicar a condição y'(1)=0:
y'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(C_{1}x^{3}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(C_{2}x^{3}\ln x\bigr) = 3C_{1}x^{2} + C_{2}\bigl(3x^{2}\ln x + x^{2}\bigr)
\Longrightarrow y'(x) = x^{2}\bigl(3C_{1} + C_{2}(3\ln x +1)\bigr).

Passo 6

Usando y(1)=2:
y(1)=C_{1}\cdot1^{3}+C_{2}\cdot1^{3}\ln1 = C_{1}+0 =2 \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=2.
Usando y'(1)=0:
y'(1)=1^{2}\bigl(3\cdot2 + C_{2}(3\cdot0+1)\bigr)=6 + C_{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad C_{2}=-6.

Resposta

\boxed{y(x)=2x^{3}-6x^{3}\ln x.}

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